Unsicherheit bei wiederholten Messungen

Streuung bei wiederholten Messungen

Wird derselbe Gegenstand mehrmals gemessen, weichen die Ergebnisse oft leicht voneinander ab. Das ist normal. Der Druck auf das Gerät kann sich ändern, die Skala wird aus einem etwas anderen Winkel abgelesen oder der Gegenstand verrutscht geringfügig.

$Messunsicherheit$ ist eine Zahl größer oder gleich null. Sie zeigt anhand der verfügbaren Daten und Informationen, wie weit Messwerte streuen können. Bei Wiederholungsmessungen berechnet eine Typ-A-Auswertung einen Unsicherheitsanteil aus den beobachteten Ergebnissen.

Die Stichprobenstandardabweichung $s$ beschreibt die Streuung der einzelnen Ablesungen um ihren Mittelwert. Die Standardunsicherheit des Mittelwerts beschreibt die Unsicherheit des aus diesen Ablesungen geschätzten Mittelwerts.

Wiederholte Messungen zeigen zufällige Abweichungen, die von einer Ablesung zur nächsten in beide Richtungen schwanken. Systematische Abweichungen verschwinden dadurch nicht. Ein Gerät mit verschobenem Nullpunkt oder beschädigter Skala muss geprüft und gegebenenfalls kalibriert werden.

Mittelwert der wiederholten Messungen

Der Durchmesser eines Flaschendeckels wird mit einem Messschieber $5$ -mal gemessen. Alle Ablesungen verwenden dieselbe Einheit $\text{cm}$ .

Messwert	Durchmesser
$d_1$	$3{,}12 \text{ cm}$
$d_2$	$3{,}14 \text{ cm}$
$d_3$	$3{,}15 \text{ cm}$
$d_4$	$3{,}11 \text{ cm}$
$d_5$	$3{,}14 \text{ cm}$

Bei annähernd symmetrisch streuenden Messwerten $ohne deutlichen Ausreißer$ ist der Mittelwert ein geeigneter Wert zur Beschreibung der Messreihe.

\bar d=\frac{\sum_{i=1}^{N} d_i}{N}

Für die Daten aus der Tabelle ergibt sich:

Addiere zunächst die Zahlenwerte der Messungen in Zentimetern:

\begin{aligned} S &=3{,}12+3{,}14+3{,}15 \\ &\quad{}+3{,}11+3{,}14 \\ &=15{,}66 \end{aligned}

Der Mittelwert allein reicht nicht. Ebenso wichtig ist, ob die Messwerte dicht bei ihm liegen oder weit streuen.

Die Streuung um den Mittelwert

Die Stichprobenstandardabweichung erfasst $die Abstände der einzelnen Messwerte vom Mittelwert$ .

s_d=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(d_i-\bar d)^2}{N-1}}

Im Nenner steht $N-1$ , weil der Stichprobenmittelwert $\bar d$ aus denselben Daten berechnet wird. Die Abweichungen vom Mittelwert müssen sich zu null summieren, sodass nur $N-1$ Abweichungen unabhängig voneinander variieren können.

Addiere zunächst die quadrierten Zahlenwerte der Abweichungen:

\begin{aligned} V &=(-0{,}012)^2+(0{,}008)^2 \\ &\quad{}+(0{,}018)^2+(-0{,}022)^2 \\ &\quad{}+(0{,}008)^2 \\ &=0{,}00108 \end{aligned}

Mit der gerundeten Streuung lässt sich der Durchmesser so angeben:

d=(3{,}13 \pm 0{,}02)\text{ cm}

Der Wert $3{,}13 \text{ cm}$ beschreibt die Lage der Daten. Die Abweichung von $0{,}02 \text{ cm}$ zeigt, dass die einzelnen Ablesungen nicht genau übereinstimmten.

Datenstreuung und Unsicherheit des Mittelwerts

In manchen Aufgaben zu wiederholten Messungen wird die folgende kompakte algebraische Form verwendet.

Kürze die beiden Summen ab, ohne die Formel zu ändern:

S_1=\sum_{i=1}^N x_i,\quad S_2=\sum_{i=1}^N x_i^2

Diese Formel ist algebraisch gleichbedeutend mit der Stichprobenstandardabweichung:

\Delta x=s_x=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar x)^2}{N-1}}

Der Faktor $\frac{1}{\sqrt N}$ in der kompakten Form macht das Ergebnis daher nicht automatisch zur formalen Unsicherheit des Mittelwerts.

In der Metrologie beschreiben NIST und JCGM GUM die Standardunsicherheit des Mittelwerts dagegen als:

u(\bar x)=\frac{s_x}{\sqrt N}

Bei unabhängigen Ablesungen mit derselben Streuung ist die $Standardunsicherheit des mittleren Durchmessers$ kleiner als die Standardabweichung der einzelnen Ablesungen:

u(\bar d)=\frac{\sqrt{0{,}00027}}{\sqrt 5}\text{ cm}\approx0{,}00735\text{ cm}

Bei einfachen Messaufgaben gilt die Konvention im Aufgabentext. Wenn dort $\Delta x$ für die kompakte Formel steht, bezeichnet $\Delta x$ die Stichprobenstandardabweichung der einzelnen Messwerte. Diese Streuung darf nicht mit der Standardunsicherheit des Mittelwerts $u(\bar x)=s_x/\sqrt N$ verwechselt werden.

Fläche aus Durchmesserdaten berechnen

Manchmal wird der Durchmesser gemessen, während die Aufgabe nach der Fläche des Flaschendeckels fragt. Für einen Kreis gilt:

A=\frac{1}{4}\pi d^2

Da die Fläche vom Durchmesser abhängt, liefert jede Durchmesserablesung einen etwas anderen Flächenwert. Verwende den Rechnerwert von $\pi$ und behalte die $ungerundeten Flächenwerte$ während der Rechnung. Die Tabelle zeigt zur Lesbarkeit nur $4$ Nachkommastellen.

Messung	Durchmesser	Daraus berechnete Fläche
$1$	$3{,}12 \text{ cm}$	$7{,}6454 \text{ cm}^2$
$2$	$3{,}14 \text{ cm}$	$7{,}7437 \text{ cm}^2$
$3$	$3{,}15 \text{ cm}$	$7{,}7931 \text{ cm}^2$
$4$	$3{,}11 \text{ cm}$	$7{,}5964 \text{ cm}^2$
$5$	$3{,}14 \text{ cm}$	$7{,}7437 \text{ cm}^2$

Die mittlere Fläche beträgt:

\begin{aligned} \bar A&=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}A_i \\ &=\frac{38{,}5223661979\ldots}{5}\text{ cm}^2 \\ &\approx7{,}7045\text{ cm}^2 \end{aligned}

Die Streuung der Flächenwerte beträgt:

\begin{aligned} s_A&=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{5}(A_i-\bar A)^2}{5-1}} \\ &=\sqrt{\frac{0{,}0260975114\ldots}{4}}\text{ cm}^2 \\ &\approx0{,}0808\text{ cm}^2 \end{aligned}

Wenn die Stichprobenstreuung in dieser Aufgabe als Unsicherheitskonvention dient, lässt sich die Fläche des Flaschendeckels so angeben.

A=(7{,}70 \pm 0{,}08)\text{ cm}^2

Die angezeigten Tabellenwerte sind nicht die Recheneingabe. Eine Zwischenrundung der Flächen kann die abschließende Streuung verändern, daher verwenden Mittelwert und Standardabweichung oben die ungerundeten Werte.

Relative Streuung in Prozent

Die relative Streuung setzt die $Stichprobenstandardabweichung$ ins Verhältnis zum Betrag des Mittelwerts.

\varepsilon_r=\frac{s_x}{|\bar x|}\times 100\,\%

Für die Fläche des Flaschendeckels ergibt sich:

\varepsilon_r=\frac{0{,}0808}{7{,}7045}\times 100\,\%\approx 1{,}05\,\%

Die Stichprobenstreuung beträgt damit ungefähr $1{,}05\,\%$ der mittleren Fläche. Ob das ausreicht, hängt vom Verwendungszweck und von der Zielunsicherheit ab. Ohne eine solche Anforderung darf der Prozentsatz nicht als „klein genug“ bezeichnet werden.

Bei einer Typ-A-Auswertung wird eine Unsicherheitskomponente aus der statistischen Analyse wiederholter Beobachtungen bestimmt. Ein Messergebnis muss außerdem so angegeben werden, dass die Auswertung der Unsicherheit nachvollziehbar ist.