Vektoraddition und Vektorsubtraktion mit der analytischen Methode

Die Resultierende aus Komponenten berechnen

Mit der grafischen Methode lässt sich die Richtung der Resultierenden gut erkennen. Wie genau das Ergebnis ist, hängt jedoch von der Zeichnung ab. Die analytische Methode $liefert ein nachprüfbares numerisches Ergebnis$ , weil sie mit den Vektorkomponenten rechnet.

Dazu wird jeder Vektor in seine Vektorkomponenten entlang der $x$ - und $y$ -Achse zerlegt. Anschließend werden die Komponenten achsenweise addiert und wieder zur Resultierenden zusammengesetzt.

R_x=\sum F_x

Bei der analytischen Methode addierst du die Vektorkomponenten auf jeder Achse. Die Pfeillängen allein ergeben noch keine Summe.

Schritte für die Vektoraddition

Angenommen, auf einen Körper wirken die Kräfte $\vec{F}_1$ , $\vec{F}_2$ und $\vec{F}_3$ . Zunächst wird jede Kraft in $horizontale und vertikale Komponenten$ zerlegt.

Sind alle Komponenten bekannt, ergeben sich die Komponenten der Resultierenden zu:

R_x=F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}+\cdots

Ihr Betrag ist:

R=\sqrt{R_x^2+R_y^2}

Verwende den zweistelligen Arkustangens für den Winkel der Resultierenden gegenüber der positiven $x$ -Achse:

\theta=\operatorname{atan2}(R_y,R_x)

Anders als $\tan^{-1}(R_y/R_x)$ verwendet $\operatorname{atan2}$ die Vorzeichen beider Komponenten und ordnet die Richtung dadurch dem richtigen Quadranten zu.

Sind beide Komponenten null, ist die Resultierende der Nullvektor und ihre $Richtung ist nicht definiert$ . Weise einem Rechner- oder Programmausgabewert für $\operatorname{atan2}(0,0)$ keine physikalische Richtung zu.

Verschiebung in zwei Etappen

Eine Person legt einen Weg in zwei Etappen zurück. Die erste Etappe entspricht $80\text{ m}$ nach Osten und $60\text{ m}$ nach Norden. Die zweite Etappe entspricht $120\text{ m}$ nach Osten und $90\text{ m}$ nach Norden.

Verschiebungsvektor	$x$ -Komponente	$y$ -Komponente
$\vec{s}_1$	$80\text{ m}$	$60\text{ m}$
$\vec{s}_2$	$120\text{ m}$	$90\text{ m}$
$\vec{R}$	$200\text{ m}$	$150\text{ m}$

Addiere $Komponenten entlang derselben Achse$ , um die Komponenten der Resultierenden zu erhalten:

R_x=80+120=200\text{ m}

Der Betrag der gesamten Verschiebung ist:

\begin{aligned} R&=\sqrt{200^2+150^2} \\ &=\sqrt{40\,000+22\,500} \\ &=\sqrt{62\,500} \\ &=250\text{ m} \end{aligned}

Für ihre Richtung gilt:

\tan\theta=\frac{150}{200}=0{,}75\quad\Rightarrow\quad\theta=\tan^{-1}(0{,}75)\approx36{,}9^\circ

Die gesamte Verschiebung beträgt $250\text{ m}$ unter einem Winkel von $36{,}9^\circ$ nördlich der Ostrichtung.

Subtraktion mit Komponenten

Subtrahiere Vektoren $komponentenweise entlang derselben Achsen$ . Wenn $\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}$ , dann:

C_x=A_x-B_x

Betrachten wir zum Beispiel $\vec{A}=7\hat{i}+4\hat{j}$ und $\vec{B}=2\hat{i}+6\hat{j}$ .

\begin{aligned} \vec{C}&=(7-2)\hat{i}+(4-6)\hat{j} \\ &=5\hat{i}-2\hat{j} \end{aligned}

Das negative Vorzeichen in $-2\hat{j}$ bedeutet, dass die resultierende $y$ -Komponente nach unten zeigt.

Die Differenz zweier Vektoren

Der Pfeil

\vec{C}

von der Spitze von

\vec{B}

zur Spitze von

\vec{A}

hat die Komponenten

(5,-2)

. Der violette Pfeil am Ursprung ist derselbe Vektor, nur parallel verschoben.

Die Vorzeichen ergeben eine Richtung nach rechts und unten. Für die Pfeillänge addierst du die quadrierten Komponenten. Beim Quadrieren verschwindet das Minuszeichen.

\lvert\vec{C}\rvert=\sqrt{5^2+(-2)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}

Für die Subtraktion ist also keine neue Regel nötig. Die Achsen bleiben gleich, gleichartige Komponenten werden voneinander abgezogen, und die Vorzeichen zeigen anschließend die Richtung der resultierenden Komponenten an.