Vektorkomponenten

Warum Vektoren in Komponenten aufgeteilt werden

Ein schräger Vektor wirkt entlang mehrerer Koordinatenachsen. Wir zerlegen ihn in Teile parallel zu diesen Achsen, damit sich die Wirkung in jeder Richtung getrennt berechnen lässt. Diese Teile heißen $Vektorkomponenten$ .

Die horizontale Komponente gibt den Anteil des Vektors entlang der $x$ -Achse an. Die vertikale Komponente beschreibt entsprechend den Anteil entlang der $y$ -Achse. Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Komponente entlang der $z$ -Achse hinzu.

Ein Vektor ist die Summe seiner Komponenten entlang der Koordinatenachsen.

Komponenten in der Ebene lesen

In einer Ebene lässt sich der Vektor $\vec{A}$ als Summe seiner $x$ - und $y$ -Komponente schreiben.

\vec{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}

Dabei ist $\hat{i}$ der $Einheitsvektor$ in $x$ -Richtung und $\hat{j}$ der Einheitsvektor in $y$ -Richtung. Die vorzeichenbehafteten Skalare $A_x$ und $A_y$ geben die Komponenten entlang der beiden Achsen an. Ihr Vorzeichen kennzeichnet die jeweilige Achsenrichtung.

Den Betrag aus zwei Komponenten berechnen

Beispielsweise bedeutet $\vec{A}=6\hat{i}+8\hat{j}$ , dass der Vektor $6$ Einheiten in positive $x$ -Richtung und $8$ Einheiten in positive $y$ -Richtung zeigt.

\begin{aligned}\lvert\vec{A}\rvert &= \sqrt{6^2+8^2} \\ &= \sqrt{36+64} \\ &= \sqrt{100}=10\end{aligned}

Der Betrag des Vektors folgt aus dem $Satz des Pythagoras$ , weil die $x$ - und $y$ -Komponente senkrecht aufeinander stehen.

Komponenten im dreidimensionalen Raum

Im dreidimensionalen Raum benötigt ein Vektor drei Komponenten. Die allgemeine Form ist:

\vec{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}

Der Einheitsvektor $\hat{k}$ zeigt entlang der $dritten Koordinatenachse$ , der $z$ -Achse. Diese Komponente wird gebraucht, wenn eine Bewegung oder Kraft nicht auf eine Ebene beschränkt ist, etwa bei einer Drohne, die sich gleichzeitig nach Osten, nach Norden und nach oben bewegt.

Komponenten von

\vec{A}

Der Vektor

\vec{A}=4\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}

wird in drei zueinander senkrechte Komponenten zerlegt.

Die Darstellung setzt die Komponenten nacheinander zusammen: zuerst entlang der $x$ -Achse, dann entlang der $y$ -Achse und schließlich entlang der $z$ -Achse. Der so erreichte Endpunkt stimmt mit dem Endpunkt des Vektors $\vec{A}$ überein.

Den Betrag im Raum berechnen

Drehe das Modell, um zu sehen, dass die $z$ -Komponente $xy$ steht. Die $x$ - und $y$ -Komponenten bilden einen Vektor in dieser Ebene. Für den räumlichen Vektorbetrag kommt die $z$ -Komponente hinzu.

\begin{aligned}\lvert\vec{A}\rvert &= \sqrt{4^2+3^2+2^2} \\ &= \sqrt{16+9+4} \\ &= \sqrt{29}\end{aligned}

Positive und negative Vorzeichen

Komponenten können positiv oder negativ sein. Das Vorzeichen zeigt $die Richtung relativ zur Referenzachse$ an, keinen negativen Vektorbetrag.

Komponente	Positives Vorzeichen	Negatives Vorzeichen
$A_x$	in positiver $x$ -Richtung	in negativer $x$ -Richtung
$A_y$	in positiver $y$ -Richtung	in negativer $y$ -Richtung
$A_z$	in positiver $z$ -Richtung	in negativer $z$ -Richtung

Für $\vec{B}=-5\hat{i}+2\hat{j}$ zeigt die Komponente mit dem Betrag $5$ in negativer $x$ -Richtung. Die Komponente mit dem Betrag $2$ zeigt dagegen in positiver $y$ -Richtung.

Eine Verschiebung in Komponenten schreiben

Ein Schüler geht $3\text{ m}$ nach Osten und anschließend $4\text{ m}$ nach Norden. Wird Osten als positive $x$ -Richtung und Norden als positive $y$ -Richtung festgelegt, lautet der Verschiebungsvektor:

\vec{s}=(3\hat{i}+4\hat{j})\text{ m}

Die Komponenten einer Verschiebung haben die $Einheit Meter$ . Einheitsvektoren geben nur die Richtung an. Deshalb muss die physikalische Einheit auch in der Vektorgleichung stehen.

Aus der Komponentenform ist sofort erkennbar, dass die resultierende Verschiebung zugleich nach Osten und nach Norden zeigt. Ihr Betrag von $5\text{ m}$ ergibt sich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit den Kathetenlängen $3\text{ m}$ und $4\text{ m}$ .

Miss die Richtung der Verschiebung von Osten nach Norden. Beide Komponenten sind positiv, deshalb liegt der Winkel im ersten Quadranten.

\begin{aligned}\tan\theta &= \frac{4}{3} \\ \theta &= \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \\ &\approx 53{,}1^\circ\end{aligned}

Die Verschiebung zeigt also etwa $53{,}1^\circ$ nördlich von Osten.