Mit der grafischen Methode lässt sich die Richtung der Resultierenden gut erkennen. Wie genau das Ergebnis ist, hängt jedoch von der Zeichnung ab. Die analytische Methode liefert ein nachprüfbares numerisches Ergebnis, weil sie mit den Vektorkomponenten rechnet.
Dazu wird jeder Vektor in seine Vektorkomponenten entlang der x- und y-Achse zerlegt. Anschließend werden die Komponenten achsenweise addiert und wieder zur Resultierenden zusammengesetzt.
Rx=∑Fx
Ry=∑Fy
Bei der analytischen Methode addierst du die Vektorkomponenten auf jeder Achse. Die Pfeillängen allein ergeben noch keine Summe.
Angenommen, auf einen Körper wirken die Kräfte F1, F2 und F3. Zunächst wird jede Kraft in horizontale und vertikale Komponenten zerlegt.
Sind alle Komponenten bekannt, ergeben sich die Komponenten der Resultierenden zu:
Rx=F1x+F2x+F3x+⋯
Ry=F1y+F2y+F3y+⋯
Ihr Betrag ist:
R=Rx2+Ry2
Verwende den zweistelligen Arkustangens für den Winkel der Resultierenden gegenüber der positiven x-Achse:
θ=atan2(Ry,Rx)
Anders als tan−1(Ry/Rx) verwendet atan2 die Vorzeichen beider Komponenten und ordnet die Richtung dadurch dem richtigen Quadranten zu.
Sind beide Komponenten null, ist die Resultierende der Nullvektor und ihre Richtung ist nicht definiert. Weise einem Rechner- oder Programmausgabewert für atan2(0,0) keine physikalische Richtung zu.
Eine Person legt einen Weg in zwei Etappen zurück. Die erste Etappe entspricht 80 m nach Osten und 60 m nach Norden. Die zweite Etappe entspricht 120 m nach Osten und 90 m nach Norden.
Verschiebungsvektor
x-Komponente
y-Komponente
s1
80 m
60 m
s2
120 m
R
200 m
150 m
Addiere Komponenten entlang derselben Achse, um die Komponenten der Resultierenden zu erhalten:
Rx=80+120=200 m
Ry=60+90=150 m
Der Betrag der gesamten Verschiebung ist:
R=2002+1502=40000+22500=62500=250 m
Für ihre Richtung gilt:
tanθ=200150=0,75⇒θ=tan−1(0,75)≈36,9∘
Die gesamte Verschiebung beträgt 250 m unter einem Winkel von 36,9∘ nördlich der Ostrichtung.
Subtrahiere Vektoren komponentenweise entlang derselben Achsen. Wenn C=A−B, dann:
Cx=Ax−Bx
Cy=Ay−By
Betrachten wir zum Beispiel A=7i^+4j^ und B=2i^+6j^.
C=(7−2)i^+(4−6)j^=5i^−2j^
Das negative Vorzeichen in −2j^ bedeutet, dass die resultierende y-Komponente nach unten zeigt.
Die Differenz zweier Vektoren
Der Pfeil C von der Spitze von B zur Spitze von A hat die Komponenten (5,−2). Der violette Pfeil am Ursprung ist derselbe Vektor, nur parallel verschoben.
Die Vorzeichen ergeben eine Richtung nach rechts und unten. Für die Pfeillänge addierst du die quadrierten Komponenten. Beim Quadrieren verschwindet das Minuszeichen.
∣C∣=52+(−2)2=25+4=29
Für die Subtraktion ist also keine neue Regel nötig. Die Achsen bleiben gleich, gleichartige Komponenten werden voneinander abgezogen, und die Vorzeichen zeigen anschließend die Richtung der resultierenden Komponenten an.