Vektorsymbole und Notation

Welche Informationen ein Vektorpfeil zeigt

Ein Vektor wird gewöhnlich als Pfeil gezeichnet. Der Fußpunkt zeigt den Anfang, die Spitze zeigt die Richtung, und die Pfeillänge stellt den Betrag des Vektors dar.

Ist ein Kraftpfeil bei gleichem Maßstab länger, besitzt die Kraft einen größeren Betrag. Zeigt der Pfeil nach rechts oben, wirkt die Kraft ebenfalls nach rechts oben.

Eine vollständige Vektornotation zeigt Betrag und Richtung.

Zweipunktnotation

Ein Vektor kann durch seinen Anfangs- und Endpunkt bezeichnet werden. So steht $\overrightarrow{AB}$ für den Vektor vom Punkt $A$ zum Punkt $B$.

Die Reihenfolge der Buchstaben ist wichtig. $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BA}$ verwenden dieselben zwei Punkte, ihre Richtungen sind jedoch entgegengesetzt.

Der Pfeil über den Buchstaben kennzeichnet die Größe als Vektor. Die Betragsstriche zeigen dagegen an, dass nur der Betrag gemeint ist.

Notation mit einem Buchstaben

In Rechnungen werden Vektoren häufig mit einem Buchstaben mit Vektorpfeil bezeichnet, etwa $\vec{a}$, $\vec{v}$ oder $\vec{F}$. Der Buchstabe verweist auf die jeweilige physikalische Größe.

So steht $\vec{F}$ häufig für eine Kraft, $\vec{v}$ für eine Geschwindigkeit und $\vec{s}$ für eine Verschiebung. Der Betrag wird ohne Vektorpfeil geschrieben, zum Beispiel als $F$ oder $\lvert\vec{F}\rvert$.

Die erste Zeile enthält Betrag und Richtung. Die zweite Zeile nennt nur den Betrag der Kraft.

Nullvektoren und Einheitsvektoren

Bei Komponentenrechnungen brauchst du zwei Sonderfälle: Der Nullvektor beschreibt keine Verschiebung. Ein Einheitsvektor legt dagegen eine Richtung fest und hat den Betrag eins, unabhängig von der gewählten Richtung.

Ein Vektor mit dem Betrag null

Ein Nullvektor hat den Betrag $0$. Sein Fußpunkt und seine Spitze fallen zusammen, sodass seine Richtung nicht definiert ist. In der Physik entsteht ein Nullvektor zum Beispiel, wenn sich zwei gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kräfte aufheben.

Lege zum Beispiel rechts als positive Richtung fest. Zwei Kräfte von jeweils $20\text{ N}$ nach rechts und nach links ergeben zusammen:

Ein Vektor zur Angabe einer Richtung

Ein Einheitsvektor hat den Betrag $1$ und kennzeichnet eine Richtung. Er sagt weder aus, wie groß eine Kraft ist, noch wie weit eine Verschiebung reicht. In der dreidimensionalen kartesischen Standardbasis besitzt jeder Einheitsvektor genau eine Komponente mit dem Wert $1$:

Alle drei Pfeile haben dieselbe tatsächliche Länge. Beim Drehen ändert sich ihre Projektion auf den Bildschirm, aber nicht der Betrag der Einheitsvektoren.

Wird ein Vektor als $\vec{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}$ geschrieben, geben $\hat{i}$ und $\hat{j}$ die positiven Achsenrichtungen an. Die vorzeichenbehafteten Skalare $A_x$ und $A_y$ geben die Komponenten entlang dieser Achsen an.

Häufige Lesefehler

Der erste Fehler ist, die Reihenfolge der Punkte zu übersehen und $\overrightarrow{AB}$ als denselben Vektor wie $\overrightarrow{BA}$ zu behandeln, weil sie dieselben zwei Punkte verwenden. Ihre Richtungen sind entgegengesetzt.

Der zweite Fehler ist ein negativer Vektorbetrag. Ein Betrag ist immer $0$ oder positiv. Ein Minuszeichen vor einem Vektor richtet ihn gewöhnlich entgegen der gewählten Bezugsrichtung aus. Sein Betrag bleibt dabei unverändert und ist niemals negativ.

So hat $-\vec{a}$ keinen negativen Betrag. Der Vektor besitzt denselben Betrag wie $\vec{a}$, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung.