Vektoraddition und -subtraktion mit grafischer Methode

Folgen mehrere Verschiebungen aufeinander oder greifen mehrere Vektoren an einem Punkt an, lässt sich ihre Vektorsumme durch einen einzigen Pfeil darstellen. Dieser Pfeil heißt Resultierende. Greifen Kräfte an verschiedenen Punkten an, beschreibt die resultierende Kraft nur die gesamte Translationswirkung; die Drehwirkung muss zusätzlich über das Drehmoment geprüft werden.

Bei der grafischen Methode entsteht die Resultierende in einer maßstäblichen Zeichnung. Die Pfeillänge steht für den Betrag, die Pfeilrichtung folgt dem angegebenen Winkel oder der Himmelsrichtung.

Die Genauigkeit der grafischen Methode hängt vom Maßstab sowie vom sorgfältigen Zeichnen mit Lineal und Winkelmesser ab.

Dreiecksmethode mit Pfeilspitze und Fußpunkt

Mit der Dreiecksmethode werden zwei Vektoren addiert. Zeichne den ersten Vektor und setze den Fußpunkt des zweiten an seine Spitze. Die Resultierende führt vom ursprünglichen Fußpunkt direkt zur letzten Pfeilspitze.

Geht jemand $4\text{ m}$ nach Osten und anschließend $3\text{ m}$ nach Norden, ist die Resultierende kein gerader Weg von $7\text{ m}$. Sie ist der diagonale Pfeil vom Start- zum Endpunkt.

Parallelogrammmethode bei gemeinsamem Anfangspunkt

Beginnen zwei Vektoren am selben Punkt, eignet sich die Parallelogrammmethode. Die Vektoren bilden benachbarte Seiten; die Diagonale vom gemeinsamen Anfangspunkt zur gegenüberliegenden Ecke ist die Resultierende.

Die Methode passt zu Kräften, die am selben Punkt angreifen, etwa wenn zwei Personen einen Ring mit Seilen in verschiedene Richtungen ziehen. Beide Kraftpfeile beginnen am Ring, und die Diagonale zeigt ihre gemeinsame Wirkung.

Schritte:

• Zeichne beide Vektoren vom selben Anfangspunkt.
• Verschiebe eine Kopie jedes Vektors parallel an die Spitze des anderen.
• Zeichne die Diagonale vom gemeinsamen Anfangspunkt zur gegenüberliegenden Ecke.

Polygon-Methode für viele Vektoren

Für mehr als zwei Vektoren wird die Polygonmethode verwendet. Setze auch hier den Fußpunkt jedes neuen Vektors an die Spitze des vorherigen.

Die Reihenfolge darf sich ändern, solange jeder Vektor Betrag und Richtung behält. Die Resultierende verläuft vom ersten Anfangspunkt bis zur letzten Pfeilspitze.

Wenn das Polygon zum Startpunkt zurückkehrt, ist die Vektorsumme null. Bei Kräften bedeutet eine verschwindende Gesamtkraft ein Translationsgleichgewicht. Für ein Rotationsgleichgewicht muss zusätzlich das gesamte Drehmoment null sein.

Grafische Vektorsubtraktion

Für die Subtraktion braucht es keine neue Zeichenregel. Ersetze den abzuziehenden Vektor durch seinen Gegenvektor und addiere anschließend.

Um $\vec{a}-\vec{b}$ zu zeichnen, beginne mit $\vec{a}$. Setze dann $-\vec{b}$ an die Spitze von $\vec{a}$. Der Vektor $-\vec{b}$ ist genauso lang wie $\vec{b}$, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung.

Die Resultierende führt weiterhin vom ersten Anfangspunkt zur letzten Pfeilspitze. Damit folgt auch die Subtraktion derselben Spitze-Fußpunkt-Regel.