Vektormultiplikation

Zwei Arten der Vektormultiplikation

Bei der Multiplikation von Vektoren entsteht nicht immer wieder ein Vektor. In der Physik sind zwei Arten wichtig: das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt.

Das Skalarprodukt ergibt einen Skalar. Das Kreuzprodukt erzeugt einen Vektor senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren. Ist das Ergebnis nicht der Nullvektor, folgt seine Richtung der Rechte-Hand-Regel.

Das Rechenzeichen hängt von der physikalischen Frage ab: Wie groß ist der gleichgerichtete Anteil, oder wie stark ist die Drehwirkung?

Das Skalarprodukt misst den gleichgerichteten Anteil

Das Skalarprodukt von $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist definiert als:

Für zwei Vektoren ungleich null ist $\theta$ der Zwischenwinkel. $A$ und $B$ sind ihre Beträge. Das Ergebnis ist ein Skalar, weil es nur einen Wert und keine Richtung besitzt.

Für eine während der Verschiebung konstante Kraft lautet die von dieser Kraft verrichtete Arbeit:

Die Kraftkomponente entlang der Verschiebungsachse bestimmt die Arbeit. Sie ist positiv in Bewegungsrichtung und negativ entgegen der Bewegungsrichtung.

Arbeit mit dem Skalarprodukt

Eine Person zieht eine Kiste mit einer konstanten Kraft von $40\text{ N}$ über eine Strecke von $5\text{ m}$. Die Kraft schließt mit der Verschiebungsrichtung einen Winkel von $60^\circ$ ein. Für die Arbeit gilt:

Steht die Kraft senkrecht auf der Verschiebung, dann gelten $\theta=90^\circ$ und $\cos90^\circ=0$. In diesem Fall verrichtet die Kraft keine Arbeit in Verschiebungsrichtung.

Wirkt dieselbe konstante Kraft entgegen der Verschiebung, beträgt der Winkel $180^\circ$. Negative Arbeit bedeutet, dass die Kraft der Bewegung Energie entzieht:

Das Kreuzprodukt misst die Drehwirkung

Das Kreuzprodukt von $\vec{A}$ und $\vec{B}$ hat den Betrag:

Für zwei Vektoren ungleich null, die nicht parallel sind, steht das Ergebnis senkrecht auf der von $\vec{A}$ und $\vec{B}$ aufgespannten Ebene. Seine Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel: Krümme die Finger vom ersten zum zweiten Vektor über den kleineren Winkel. Der Daumen zeigt die Ergebnisrichtung. Bei parallelen Vektoren oder einem Nullvektor als Eingabe entsteht der Nullvektor ohne bestimmte Richtung.

In der Darstellung zeigt $\vec{A}$ entlang der positiven $x$-Achse und $\vec{B}$ entlang der positiven $y$-Achse. Die Rechnung liefert für $\vec{A}\times\vec{B}$ die positive $z$-Richtung. Beide Modellvektoren sind dimensionslos. Berechne die Komponenten: Die ersten beiden sind null und die dritte ist $4\cdot3$. Der Ergebnispfeil ist $12$ Einheiten lang. Drehe das Modell und vergleiche diesen Pfeil mit der Ebene der ursprünglichen Vektoren.

Für das Drehmoment lautet das Kreuzprodukt:

Der Vektor $\vec{r}$ ist der Ortsvektor von einem Bezugspunkt am Scharnier bis zum Angriffspunkt der Kraft. Der senkrechte Hebelarm hat die Länge $r\sin\theta$. Bei gleichem Winkel erzeugt dieselbe Kraft ein größeres Drehmoment, wenn sie weiter vom Türscharnier entfernt angreift.

Drehmoment einer senkrechten Kraft

Wähle am Scharnier einen Bezugspunkt auf der Höhe des Kraftangriffspunkts. Eine Tür wird horizontal im Abstand $0{,}8\text{ m}$ vom Scharnier mit einer Kraft von $30\text{ N}$ gedrückt. Die Kraft wirkt senkrecht zur Tür, also gilt $\theta=90^\circ$.

Bei festen Werten von $r$ und $F$ erzeugt eine senkrechte Kraft das maximale Drehmoment, weil $\sin90^\circ=1$ gilt. Eine fast parallel zum Ortsvektor $\vec{r}$ wirkende Kraft erzeugt nur ein kleines Drehmoment, weil ihr Sinusfaktor nahe null liegt.

Skalarprodukt und Kreuzprodukt vergleichen

Vergleiche die Operationen bei festen Vektorbeträgen ungleich null. Das Skalarprodukt ist am größten, wenn zwei Vektoren gleichgerichtet sind, denn $\cos0^\circ=1$. Das Kreuzprodukt ist in diesem Fall null, denn $\sin0^\circ=0$.

Das Skalarprodukt beschreibt damit die gegenseitige Ausrichtung zweier Vektoren. Das Kreuzprodukt erfasst dagegen senkrechte Wirkungen, etwa eine Drehung.