Vektoren haben Betrag und Richtung
Stell dir vor, du sagst einem Freund: „Geh .“ Vermutlich fragt er sofort: „In welche Richtung?“ Geradeaus, nach rechts oder die Treppe hinauf?
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Manche physikalischen Größen lassen sich nicht mit einer Zahl allein beschreiben. Sie benötigen sowohl einen Betrag als auch eine Richtung. Eine solche Größe heißt Vektor.
Betrag und Richtung sind zwei Angaben zu einem Vektor. Sie werden nicht als Zahlen addiert. Ein Kraftbetrag wird zum Beispiel in Newton gemessen, während die Richtung relativ zu Bezugsachsen angegeben wird.
Beispiele hierfür sind eine Verschiebung von nach Osten, eine Kraft von nach oben oder eine Geschwindigkeit von nach rechts. Fehlt die Richtung, sind die physikalischen Informationen unvollständig.
In diesem Modell bewegt sich eine kleine Last über ein Brückendeck. Zwei Seile ziehen sie zu den Türmen. Jede Seilkraft ist ein Vektor, denn sie besitzt einen Betrag und eine Richtung. Verschiebe die Last und beobachte, wie sich Pfeillänge und Pfeilrichtung gemeinsam ändern.
Liegt die Last nicht genau in der Mitte, tragen die beiden Seile sie mit unterschiedlicher Spannung. Die Richtung jedes Seils bestimmt, welche Spannung zum Halten der Last erforderlich ist.
Nicht jede Größe braucht eine Richtung. Ein Skalar ist mit Zahlenwert und Einheit vollständig beschrieben. Ein Vektor benötigt zusätzlich eine Richtung.
| Situation | Größe | Typ |
|---|---|---|
| Wasser mit der Masse | Masse | Skalar |
| Raumtemperatur | Temperatur | Skalar |
| Ein Auto legt eine Strecke von zurück | Strecke | Skalar |
| Ein Auto wird nach Norden verschoben | Verschiebung | Vektor |
| Ein Schüler schiebt einen Tisch mit nach rechts | Kraft | Vektor |
| Der Wind weht mit nach Westen | Geschwindigkeit | Vektor |
Eine schnelle Entscheidungshilfe lautet: Ist die Frage „In welche Richtung?“ für die vollständige Beschreibung nötig, handelt es sich wahrscheinlich um einen Vektor.
Vektoren werden oft als Pfeile gezeichnet. Der Fußpunkt markiert den Anfang, die Spitze zeigt die Richtung und die Pfeillänge stellt den Betrag dar.
Der Betrag einer nach rechts gerichteten Kraft kann beispielsweise als geschrieben werden. Das Symbol bezeichnet den Kraftvektor, seinen Betrag und „nach rechts“ seine Richtung.
Ein Vektor kann auch von einem Punkt zum anderen geschrieben werden, beispielsweise . Das bedeutet, dass der Vektor am Punkt beginnt und am Punkt endet.
ist die Länge des Vektors von nach .
Die Betragsstriche um einen Vektor bezeichnen seinen Betrag. Die Richtung gehört nicht zu diesem Wert.
Zwei Vektoren sind gleich, wenn Betrag und Richtung übereinstimmen. Sie müssen nicht am selben Ort eingezeichnet sein.
Zwei nach rechts gerichtete Kräfte mit jeweils haben denselben Vektorwert, auch wenn die Pfeile an verschiedenen Stellen eingezeichnet sind. Bei einem starren Körper bleibt der Angriffspunkt wichtig, weil er das Drehmoment verändern kann.
Eine Kraft von nach rechts und eine Kraft von nach links sind dagegen nicht gleich. Ihre Beträge stimmen überein, ihre Richtungen sind entgegengesetzt.
Eine Person geht nach Osten und dann nach Norden. Die zurückgelegte Strecke ist die Gesamtweglänge:
Die Verschiebung ist der Vektor von der Startposition zur Endposition und unterscheidet sich damit von der zurückgelegten Strecke.
Miss den Richtungswinkel von Osten nach Norden. Das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete ist:
Die zurückgelegte Strecke beträgt . Der Betrag der Verschiebung ist . Ihre Richtung liegt etwa nördlich von Osten.
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