Vektormultiplikation

Das Skalarprodukt ergibt einen Skalar. Das Kreuzprodukt erzeugt einen neuen Vektor, dessen Richtung senkrecht zu den beiden ursprünglichen Vektoren ist.

Das Rechenzeichen hängt von der physikalischen Frage ab: Wie groß ist der gleichgerichtete Anteil, oder wie stark ist die Drehwirkung?

Das Skalarprodukt misst den gleichgerichteten Anteil

Das Skalarprodukt von $\vec{A}$ und $\vec{B}$ ist definiert als:

Der Winkel $\theta$ liegt zwischen den beiden Vektoren. Das Ergebnis ist ein Skalar, weil es nur einen Wert und keine Richtung besitzt.

Die von einer Kraft verrichtete Arbeit lässt sich damit schreiben als:

Damit trägt nur die Kraftkomponente zur Arbeit bei, die in Richtung der Verschiebung zeigt.

Beispiel: Arbeit mit dem Skalarprodukt

Eine Person zieht eine Kiste mit einer Kraft von $40\text{ N}$ über eine Strecke von $5\text{ m}$. Die Kraft schließt mit der Verschiebungsrichtung einen Winkel von $60^\circ$ ein. Für die Arbeit gilt:

Steht die Kraft senkrecht auf der Verschiebung, dann gelten $\theta=90^\circ$ und $\cos90^\circ=0$. In diesem Fall verrichtet die Kraft keine Arbeit in Verschiebungsrichtung.

Anders gesagt: Das Skalarprodukt erfasst genau den Kraftanteil, der entlang der Verschiebung wirkt. Eine rein nach oben oder unten gerichtete Komponente trägt bei einer horizontalen Verschiebung nicht zur Arbeit bei.

Das Kreuzprodukt misst die Drehwirkung

Das Kreuzprodukt von $\vec{A}$ und $\vec{B}$ hat den Betrag:

Das Ergebnis ist ein Vektor, der senkrecht auf der von $\vec{A}$ und $\vec{B}$ aufgespannten Ebene steht. Seine Richtung wird mit der Rechte-Hand-Regel bestimmt.

In der Darstellung zeigt $\vec{A}$ entlang der positiven $x$-Achse und $\vec{B}$ entlang der positiven $y$-Achse. Die Rechnung liefert für $\vec{A}\times\vec{B}$ die positive $z$-Richtung. Der blaue Pfeil ist lediglich verkürzt, damit er in die Szene passt. Seine Richtung bleibt durch das Kreuzprodukt festgelegt.

Für das Drehmoment lautet das Kreuzprodukt:

Der Vektor $\vec{r}$ ist der Ortsvektor von der Drehachse bis zum Angriffspunkt der Kraft. Der senkrechte Hebelarm hat die Länge $r\sin\theta$. Bei gleichem Winkel erzeugt dieselbe Kraft ein größeres Drehmoment, wenn sie weiter vom Türscharnier entfernt angreift.

Beispiel: Drehmoment einer senkrechten Kraft

Eine Tür wird im Abstand $0{,}8\text{ m}$ vom Scharnier mit einer Kraft von $30\text{ N}$ gedrückt. Die Kraft wirkt senkrecht zur Tür, also gilt $\theta=90^\circ$.

Greift die Kraft unter einem kleineren Winkel an, wird auch $\sin\theta$ kleiner. Deshalb lässt sich eine Tür durch senkrechtes Drücken meist wirksamer drehen als durch eine Kraft, die fast parallel zur Türfläche wirkt.

Skalarprodukt und Kreuzprodukt vergleichen

Der entscheidende Unterschied zeigt sich am Zwischenwinkel. Das Skalarprodukt ist am größten, wenn zwei Vektoren gleichgerichtet sind, denn $\cos0^\circ=1$. Das Kreuzprodukt ist in diesem Fall null, denn $\sin0^\circ=0$.

Das Skalarprodukt beschreibt damit die gegenseitige Ausrichtung zweier Vektoren. Das Kreuzprodukt erfasst dagegen senkrechte Wirkungen, etwa eine Drehung.