Soal 10

Pembahasan

Kita akan mencari nilai $x$ yang memaksimumkan luas permukaan balok, lalu menghitung luas permukaan tersebut.

Menentukan Rumus Luas Permukaan

Luas permukaan balok ($L$) dapat dihitung dengan rumus:

Dari soal-soal sebelumnya, kita mengetahui dimensi balok dalam $x$:

• Panjang ($p$) = $5 - x$
• Lebar ($l$) = $4x - 5$
• Keliling Alas ($K$) = $6x$
• Tinggi ($t$) = $5 - \frac{1}{3}x$

Substitusikan dimensi tersebut ke rumus luas permukaan:

Menyederhanakan Fungsi Luas Permukaan

Kita uraikan persamaan di atas:

Bagian Luas Alas:

Bagian Keliling kali Tinggi:

Total Luas Permukaan:

Mencari Nilai Maksimum

Fungsi $L(x)$ adalah fungsi kuadrat dengan koefisien $x^2$ negatif, sehingga grafik parabolanya terbuka ke bawah dan memiliki nilai maksimum. Nilai maksimum dicapai saat turunan pertamanya sama dengan nol ($L'(x) = 0$).

Kita periksa apakah $x = 4$ memenuhi himpunan $A$ (syarat dimensi positif) yang telah dicari sebelumnya, yaitu $\frac{5}{4} < x < 5$. Karena $1,25 < 4 < 5$, maka nilai $x = 4$ valid.

Menghitung Luas Permukaan Maksimum

Substitusikan $x = 4$ ke dalam fungsi $L(x)$:

Jadi, luas permukaan maksimum kardus tersebut adalah $110 \text{ cm}^2$.