Set 5

Pembahasan

Misalkan harga satu ikat pinggang adalah $x$ dan harga satu dasi adalah $y$. Berdasarkan informasi pada soal, kita dapat menyusun sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut:

Untuk mencari nilai $x$ dan $y$, kita dapat menggunakan metode eliminasi. Kita akan mengeliminasi variabel $x$ terlebih dahulu dengan mengalikan persamaan kedua dengan $3$ agar koefisien $x$ pada kedua persamaan menjadi sama.

Selanjutnya, kita kurangkan persamaan kedua yang telah dikalikan dengan persamaan pertama untuk mendapatkan nilai $y$.

Setelah mendapatkan nilai $y = 12.500$, kita substitusikan nilai tersebut ke salah satu persamaan awal, misalnya persamaan $x + 3y = 62.500$, untuk mendapatkan nilai $x$.

Jadi, harga satu ikat pinggang adalah $\text{Rp }25.000,00$ dan harga satu dasi adalah $\text{Rp }12.500,00$. Karena Yunus ingin membeli masing-masing $1$ buah, maka total yang harus dibayar adalah jumlah dari harga keduanya.

Dengan demikian, Yunus harus membayar sebesar $\text{Rp }37.500,00$.

Pembahasan

Untuk menentukan kapan ketiga supplier mengirimkan sayuran secara bersamaan, kita menggunakan konsep Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari jadwal pengiriman mereka, yaitu $x$, $4$, dan $7$.

Diketahui bahwa pengiriman bersamaan ke-$16$ terjadi $1260$ hari setelah pengiriman pertama. Ini berarti telah terjadi $15$ kali interval pengiriman bersamaan setelah pertemuan pertama.

Kita dapat menghitung nilai KPK dari ketiga bilangan tersebut dengan membagi total hari dengan jumlah interval yang terjadi:

Jadi, KPK dari $x$, $4$, dan $7$ adalah $84$. Kita tahu bahwa KPK dari $4$ dan $7$ adalah $28$. Oleh karena itu, kita harus mencari nilai $x$ sedemikian rupa sehingga KPK dari $x$ dan $28$ adalah $84$.

Mari kita cek pilihan jawaban yang tersedia:

• Jika $x = 6$, maka KPK($6, 28$) = $84$. (Benar)
• Jika $x = 8$, maka KPK($8, 28$) = $56$. (Salah)
• Jika $x = 9$, maka KPK($9, 28$) = $252$. (Salah)
• Jika $x = 10$, maka KPK($10, 28$) = $140$. (Salah)
• Jika $x = 11$, maka KPK($11, 28$) = $308$. (Salah)

Dengan demikian, nilai $x$ yang memenuhi adalah $6$.

Pembahasan

Bulan April $2024$ memiliki $30$ hari. Pengiriman dimulai pada tanggal $1$, sehingga jadwal supplier B adalah hari $1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29$ dan totalnya $8$ kali. Jadwal supplier C adalah hari $1, 8, 15, 22, 29$ dan totalnya $5$ kali.

Jadi, total berat sayuran dari supplier B dan C selama April $2024$ adalah $246 \text{ kg}$.

Pembahasan

Harga televisi sebelum pajak adalah $\text{Rp }4.500.000,00$. Pajak $10\%$ dihitung dari harga awal, sehingga nilai pajaknya adalah $\text{Rp }450.000,00$. Setelah pajak, harga menjadi $\text{Rp }4.950.000,00$.

Diskon $5\%$ diberikan dari harga setelah pajak, jadi besar diskonnya $\text{Rp }247.500,00$. Jumlah yang harus dibayar adalah:

Jadi, uang yang harus dibayarkan Ibu Juju adalah $\text{Rp }4.702.500,00$.

Pembahasan

Persoalan ini dapat diselesaikan dengan konsep barisan geometri, di mana bakteri membelah diri menjadi dua setiap $24$ jam (1 hari).

Pada 5 hari pertama (hari ke-1 sampai ke-5), jumlah bakteri mengikuti pola barisan geometri dengan suku awal $a = 10$ dan rasio $r = 2$. Jumlah bakteri pada hari ke-5 adalah:

Setiap $120$ jam (5 hari), setengah dari total bakteri dibunuh. Maka sisa bakteri pada akhir hari ke-5 adalah:

Untuk 5 hari kedua (hari ke-6 sampai ke-10), siklus dimulai kembali dengan jumlah awal $80$. Pada hari ke-6, jumlah bakteri menjadi $80 \times 2 = 160$. Maka jumlah bakteri pada hari ke-10 (suku ke-5 dari fase kedua) adalah:

Pada akhir hari ke-10, setengah bakteri kembali dibunuh:

Selanjutnya, kita hitung pertumbuhan untuk hari ke-11 dan ke-12:

Jadi, banyaknya bakteri pada hari ke-12 pengamatan adalah $5120$.

Pembahasan

Diketahui bahwa usia anak-anak Pak Asep membentuk deret hitung (barisan aritmatika) dengan jumlah anak $n = 6$. Misalkan $U_n$ adalah usia anak ke-$n$.

Dari informasi soal:

• Usia anak ke-$3$ adalah $18$ tahun: $U_3 = 18$.
• Usia anak ke-$5$ adalah $16$ tahun: $U_5 = 16$.

Dalam barisan aritmatika, rumus suku ke-$n$ adalah $U_n = a + (n-1)b$. Maka kita dapat membentuk persamaan:

Kurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama untuk mencari beda ($b$):

Substitusikan nilai $b = -1$ ke persamaan $U_3$ untuk mencari suku pertama ($a$):

Jadi, usia anak pertama adalah $20$ tahun dan beda usianya adalah $-1$ tahun. Usia keenam anak tersebut adalah: $20, 19, 18, 17, 16, 15$.

Jumlah usia semua anak ($S_6$) dapat dihitung dengan rumus deret aritmatika:

Jadi, jumlah usia semua anak Pak Asep adalah $105$ tahun.

Pembahasan

Kita menggunakan konsep nilai rata-rata ($\bar{x}$) yang didefinisikan sebagai jumlah seluruh data ($\Sigma x$) dibagi dengan banyaknya data ($n$).

Kondisi Awal

Awalnya, terdapat $39$ siswa dengan rata-rata nilai $45$. Jumlah total nilai mereka adalah:

Setelah Yanto Masuk

Ketika Yanto bergabung, jumlah siswa bertambah menjadi $n_2 = 39 + 1 = 40$ orang. Rata-rata nilai kelas berubah menjadi $46$. Jumlah total nilai yang baru adalah:

Mencari Nilai Yanto

Nilai Yanto ($Y$) adalah selisih antara total nilai baru dengan total nilai awal.

Jadi, nilai ujian Yanto adalah $85$.

Pembahasan

Untuk mencari rata-rata gabungan dari semua kelas, kita perlu menghitung jumlah nilai total dari seluruh siswa dan membaginya dengan jumlah total siswa.

Langkah 1: Menghitung Jumlah Nilai Tiap Kelas

Kelas IPA ($n_1 = 30$, $\bar{x}_1 = 6,5$):

Kelas IPS ($n_2 = 25$, $\bar{x}_2 = 7$):

Kelas Bahasa ($n_3 = 20$, $\bar{x}_3 = 8$):

Langkah 2: Menghitung Rata-rata Gabungan

Jumlah total nilai seluruh kelas adalah:

Jumlah total siswa seluruh kelas adalah:

Maka, rata-rata gabungan ($\bar{x}_{total}$) adalah:

Jadi, rata-rata nilai semua kelas 12 tersebut adalah $7,07$.

Pembahasan

Kita akan menggunakan aturan perkalian (filling slots) untuk menyusun nomor rumah dua digit tersebut.

Identifikasi Angka yang Tersedia

Bilangan cacah kurang dari $10$ adalah $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Syarat soal adalah semua digit ganjil. Maka, angka yang boleh digunakan hanyalah:

Terdapat $5$ angka ganjil yang tersedia. Karena nomor rumah terdiri dari dua digit, kita memiliki dua posisi yang harus diisi:

1. Digit Pertama: Dapat dipilih dari $5$ angka ganjil tersebut.
2. Digit Kedua: Juga dapat dipilih dari $5$ angka ganjil tersebut (boleh berulang).

Perhitungan Total Kemungkinan

Total kemungkinannya adalah hasil kali dari banyaknya pilihan untuk setiap posisi:

Jadi, terdapat $25$ kemungkinan nomor rumah.

Pembahasan

Untuk menentukan banyaknya kemungkinan nomor rumah, kita dapat menggunakan aturan pengisian tempat (filling slots) atau perkalian.

Langkah 1: Identifikasi Angka yang Tersedia

Angka yang tersedia adalah bilangan cacah kurang dari $10$, yaitu $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Dari himpunan tersebut, kita kelompokkan menjadi:

• Angka Ganjil: $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ (ada $5$ angka).
• Angka Genap: $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ (ada $5$ angka).

Langkah 2: Mengisi Posisi Digit

Nomor rumah terdiri dari dua digit dengan ketentuan:

1. Digit Pertama (Ganjil): Kita harus memilih salah satu dari $5$ angka ganjil yang tersedia.
2. Digit Kedua (Genap): Kita harus memilih salah satu dari $5$ angka genap yang tersedia.

Langkah 3: Perhitungan Total Kemungkinan

Banyaknya cara menyusun nomor rumah adalah hasil kali dari banyaknya pilihan untuk setiap posisi:

Jadi, terdapat $25$ kemungkinan nomor rumah yang dapat dibuat.

Pembahasan

Inti dari permasalahan ini adalah menjaga kualitas rasa teh. Agar rasa teh tetap konsisten, perbandingan antara jumlah teh celup dan gula harus selalu tetap (konstan), tidak peduli berapa banyak gelas yang dibuat.

Diketahui rasio dasar untuk satu gelas adalah $2$ kantong teh berbanding $3$ sendok gula. Ketika kita menggunakan $5$ kantong teh dengan $b$ sendok gula, kita dapat menuliskan persamaan kesebandingannya sebagai berikut:

Target kita adalah mencari nilai $P$ yang didefinisikan sebagai $2b$. Jika kita perhatikan persamaan di atas dengan seksama, kita bisa langsung menemukan nilai $2b$ dengan melakukan perkalian silang, tanpa harus mencari nilai $b$ terlebih dahulu:

Sekarang kita memiliki nilai $P = 15$. Kita tinggal membandingkannya dengan nilai $Q$ yang diberikan sebesar $10$.

Maka, dapat disimpulkan bahwa hubungan yang benar adalah $P$ lebih besar dari $Q$.

Pembahasan

Untuk menentukan harga jual campuran, kita perlu mengetahui total modal yang dikeluarkan dan total berat beras yang diperoleh. Mari kita hitung langkah demi langkah dengan konsep rata-rata tertimbang (weighted average).

Total modal adalah jumlah biaya pembelian beras jenis A dan jenis B:

Total berat beras setelah dicampur adalah $20 + 30 = 50$ kg. Dari sini, kita dapat menghitung harga pokok (modal) per kilogram beras campuran:

Pedagang menginginkan keuntungan sebesar $10\%$. Artinya, harga jual per kg adalah harga pokok ditambah dengan keuntungan, atau setara dengan $110\%$ dari harga pokok.

Jadi, harga jual beras campuran per kg agar mendapat keuntungan $10\%$ adalah $\text{Rp12.320,00}$.

Pembahasan

Inti dari permasalahan ini adalah prinsip kejujuran dalam transaksi: kita hanya membayar apa yang benar-benar kita dapatkan (isi kedelai), bukan bungkusnya (karung). Dalam aritmatika sosial, ini dikenal dengan konsep Netto.

Netto adalah berat bersih barang tanpa kemasan. Karena harga kedelai dihitung per kilogram, kita harus mencari berat bersih kedelai terlebih dahulu dengan mengurangi berat kotor (bruto) dengan berat kemasan (tara).

Setelah mengetahui berat bersih kedelai yang sebenarnya kita beli, kita hitung harga total sebelum diskon.

Pengusaha tersebut mendapatkan potongan harga sebesar $5\%$. Artinya, ia cukup membayar $95\%$ dari harga total tersebut. Mari kita hitung harga akhirnya:

Jadi, uang yang harus dibayarkan oleh pengusaha tersebut adalah $\text{Rp374.300,00}$.

Pembahasan

Persoalan ini dapat diselesaikan dengan memodelkannya ke dalam Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Mari kita definisikan variabelnya terlebih dahulu agar lebih mudah:

Berdasarkan informasi belanja Angga, Bimo, dan Cinta, kita dapat menyusun tiga persamaan sebagai berikut:

Target kita adalah mencari berapa yang harus dibayar Rizal jika ia membeli masing-masing satu barang, yang berarti kita mencari nilai $x + y + z$.

Perhatikan persamaan milik Angga dan Cinta. Keduanya memiliki jumlah saus ($y$) dan lada ($2z$) yang sama persis. Ini adalah celah untuk menemukan nilai $x$ dengan sangat cepat! Kita cukup kurangkan persamaan Angga dengan persamaan Cinta:

Sekarang kita tahu harga kecap asin adalah $\text{Rp4.000,00}$. Mari kita substitusikan nilai ini ke persamaan Bimo dan Cinta untuk menyederhanakan sistem:

Kita mendapatkan sistem baru dengan dua variabel. Dari persamaan $y + 2z = 8.000$, kita bisa ubah menjadi $y = 8.000 - 2z$. Substitusikan ini ke persamaan $2y + z = 8.500$:

Setelah mendapatkan $z = 2.500$, kita bisa mencari $y$:

Kini semua harga satuan telah diketahui: $x = 4.000$ (kecap asin), $y = 3.000$ (saus), dan $z = 2.500$ (lada).

Maka, total yang harus dibayar Rizal adalah:

Jadi, Rizal harus membayar sebesar $\text{Rp9.500,00}$.

Pembahasan

Misalkan umur Bimo sekarang adalah $B$ dan umur Ayah sekarang adalah $A$. Kita akan menerjemahkan informasi verbal dari soal menjadi model matematika yang presisi.

Pertama, kita analisis kondisi masa lalu: "Enam tahun lalu, umur Bimo $4$ tahun lebih muda dari seperenam umur Ayahnya." Kalimat ini dapat kita tuliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut:

Kedua, kita analisis kondisi saat ini: "Umur Bimo sekarang $3$ tahun lebih tua dari seperdelapan umur Ayahnya." Pernyataan ini menghasilkan persamaan kedua:

Kini kita memiliki sistem persamaan linear dua variabel. Langkah selanjutnya adalah menyederhanakan persamaan pertama agar lebih mudah dioperasikan. Kita akan menghilangkan pecahan dan mengelompokkan variabel:

Selanjutnya, kita modifikasi persamaan kedua agar memiliki bentuk yang selaras dengan persamaan $(1)$ untuk memudahkan proses eliminasi:

Dengan dua persamaan linear yang rapi, kita dapat mengeliminasi variabel $A$ dengan mengurangkan persamaan $(2)$ dengan persamaan $(1)$:

Setelah mengetahui umur Bimo adalah 9 tahun, kita substitusikan nilai $B$ ke persamaan $(1)$ untuk mendapatkan umur Ayah:

Terakhir, kita hitung jumlah umur Bimo dan Ayahnya sekarang:

Jadi, jumlah umur mereka saat ini adalah $57$ tahun.

Pembahasan

Kita diminta untuk mencari jumlah hari di bulan April $2024$ dimana Pak Saiful tidak menerima kiriman dari Supplier B maupun C.

Langkah pertama, kita identifikasi parameter waktunya. Bulan April memiliki total $30$ hari.

Selanjutnya, kita tentukan tanggal pengiriman untuk masing-masing supplier, dimulai dari tanggal $1$ April:

Hari dimana Pak Saiful menerima kiriman dari salah satu atau kedua supplier adalah gabungan dari himpunan $B$ dan $C$:

Banyaknya hari dimana ada pengiriman adalah $11$ hari.

Untuk mencari hari tanpa pengiriman, kita kurangi total hari di bulan April dengan jumlah hari pengiriman:

Jadi, terdapat $19$ hari dimana Pak Saiful tidak menerima kiriman dari B maupun C.

Pembahasan

Kita akan menghitung total berat sayuran yang diterima Pak Saiful dari Supplier B pada bulan April dan Mei $2024$, lalu mencari selisihnya.

Pada bulan April $2024$, Supplier B mengirimkan sayuran setiap $4$ hari sekali dengan berat $12$ kg per kiriman. Jadwal pengiriman dimulai tanggal $1$ April, sehingga tanggal pengirimannya adalah:

Terjadi $8$ kali pengiriman di bulan April. Maka total beratnya adalah:

Selanjutnya untuk bulan Mei $2024$, berat per kiriman naik menjadi $20$ kg. Bulan April memiliki $30$ hari. Jika pengiriman terakhir adalah tanggal $29$ April, maka pengiriman berikutnya (jeda $4$ hari) jatuh pada tanggal $3$ Mei. Namun, pola frekuensi pengiriman setiap $4$ hari dalam satu bulan penuh (30 atau 31 hari) akan menghasilkan $8$ kali pengiriman. Tanggal pengiriman di bulan Mei adalah:

Terjadi $8$ kali pengiriman juga di bulan Mei. Maka total beratnya adalah:

Selisih berat sayuran yang diterima antara bulan Mei dan April adalah:

Jadi, selisih berat sayuran yang diterima adalah $64$ kg.

Pembahasan

Kita akan mencari perbandingan jumlah karyawan laki-laki dan perempuan menggunakan konsep rata-rata gabungan.

Misalkan:

• $n_L$ = jumlah karyawan laki-laki
• $n_P$ = jumlah karyawan perempuan
• $\bar{x}_L = 320.000$ (rata-rata laki-laki)
• $\bar{x}_P = 285.000$ (rata-rata perempuan)
• $\bar{x}_{gab} = 300.000$ (rata-rata gabungan)

Rumus rata-rata gabungan adalah:

Substitusikan nilai yang diketahui ke dalam rumus:

Untuk mempermudah perhitungan, kita bagi semua angka dengan $1.000$:

Kalikan silang penyebut ke ruas kiri:

Kumpulkan suku sejenis:

Cari perbandingan $n_L : n_P$:

Jadi, perbandingan jumlah karyawan laki-laki dan perempuan adalah $3:4$.