Set 3

Pembahasan

Perhatikan pola deret bilangan berikut.

Pola yang terbentuk adalah sebagai berikut.

1. $3 \xrightarrow{+3} 6$
2. $6 \xrightarrow{\times 3} 18$
3. $18 \xrightarrow{-3} 15$
4. $15 \xrightarrow{+3} m$
5. $m \xrightarrow{\times 3} 54$
6. $54 \xrightarrow{-3} 51$
7. $51 \xrightarrow{+3} 54$
8. $54 \xrightarrow{\times 3} 162$

Dapat dilihat bahwa pola operasinya berulang: $+3, \;\times 3, \; -3$.

Untuk menentukan nilai $m$, kita lanjutkan pola setelah $15$, yaitu ditambah $3$.

Kita bisa memverifikasi nilai $m$ dengan langkah berikutnya (dikali $3$).

Jadi, nilai $m$ adalah $18$.

Pembahasan

Diketahui operasi $x \ast y = (x + y + 1)x + xy$.

Kita akan menghitung nilai $-1 \ast 2$ terlebih dahulu.

Selanjutnya, kita substitusikan hasil tersebut ke persamaan $a \ast (-1 \ast 2) = -10$, sehingga menjadi $a \ast (-4) = -10$.

Kita faktorkan persamaan kuadrat tersebut untuk mendapatkan nilai $a$.

Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $2$ atau $5$.

Pembahasan

Hubungan antara kecepatan ($v$) dan waktu ($t$) adalah perbandingan berbalik nilai. Artinya, hasil kali kecepatan dan waktu adalah konstan (jarak tempuh tetap).

Diketahui dari tabel:

• Kecepatan pertama $v_1 = 96 \text{ km/jam}$
• Waktu pertama $t_1 = 1 \text{ jam}$
• Kecepatan kedua $v_2 = 72 \text{ km/jam}$

Kita akan mencari waktu kedua ($t_2$).

Kita ubah pecahan jam ke dalam jam dan menit.

Jadi, waktu yang dibutuhkan adalah $1 \text{ jam } 20 \text{ menit}$.

Pembahasan

Diketahui:

• Harga awal jaket = $\text{Rp}250.000,00$
• Diskon = $25\%$
• Pajak = $5\%$

Pertama, kita hitung harga setelah diskon. Karena mendapat diskon $25\%$, maka Bu Kartika harus membayar $100\% - 25\% = 75\%$ dari harga awal.

Selanjutnya, dikenakan pajak sebesar $5\%$ dari harga setelah diskon. Maka total yang harus dibayar adalah $100\% + 5\% = 105\%$ dari harga setelah diskon.

Secara langsung, perhitungannya dapat ditulis sebagai:

Jadi, harga yang harus dibayar Bu Kartika adalah $\text{Rp}196.875,00$.

Pembahasan

Diketahui:

• Keliling ($K$) = $x \text{ cm}$
• Panjang ($p$) = $(8y + 5) \text{ cm}$
• Lebar ($l$) = $(6y + 1) \text{ cm}$

Rumus keliling persegi panjang adalah $K = 2(p + l)$. Kita substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus tersebut.

Selanjutnya, kita ubah persamaan tersebut untuk mencari nilai $y$.

Jadi, nilai $y$ adalah $\left(\frac{x}{28} - \frac{3}{7}\right) \text{ cm}$.

Pembahasan

Mari kita analisis setiap pernyataan untuk garis $5x - 10y = 3$.

Pernyataan 1: Gradien

Persamaan garis dalam bentuk $ax + by = c$ memiliki gradien $m = -\frac{a}{b}$. Untuk $5x - 10y = 3$:

• $a = 5$
• $b = -10$

Pernyataan 1 mengatakan gradiennya $-2$. Jadi, Pernyataan 1 salah.

Pernyataan 2: Titik potong sumbu $x$

Titik potong sumbu $x$ terjadi saat $y = 0$.

Titik koordinatnya adalah $\left(\frac{3}{5}, 0\right)$. Jadi, Pernyataan 2 benar.

Pernyataan 3 dan 4: Titik potong sumbu $y$

Titik potong sumbu $y$ terjadi saat $x = 0$.

Titik koordinatnya adalah $\left(0, -\frac{3}{10}\right)$. Jadi, Pernyataan 3 salah dan Pernyataan 4 benar.

Kesimpulan: Pernyataan yang benar adalah (2) dan (4).

Pembahasan

Misalkan bilangan ganjil terkecil adalah $a$. Karena bilangan ganjil berurutan memiliki selisih $2$, maka tiga bilangan tersebut adalah $a, a + 2, a + 4$.

Diketahui jumlah ketiga bilangan tersebut adalah $1005$.

Bilangan terbesar adalah $a + 4$.

Jadi, nilai $P = 337$. Diketahui nilai $Q = 401$.

Maka, hubungan antara $P$ dan $Q$ adalah:

Pembahasan

Diketahui $x = \frac{5}{6}$ dan $y = \frac{3}{7}$.

Menghitung nilai $P$

Nilai $P = \frac{18}{85}$ (kurang dari $1$, sekitar $0,21$).

Menghitung nilai $Q$

Nilai $Q = \frac{42}{53}$ (kurang dari $1$, sekitar $0,79$).

Membandingkan $P$ dan $Q$

Terlihat jelas bahwa $0,21 < 0,79$.

Jadi, $P < Q$.

Pembahasan

Diketahui $\angle BOC = 50^\circ$. Garis $AOB$ adalah garis lurus (diameter), sehingga besar sudut lurus adalah $180^\circ$.

Maka, kita dapat mencari besar $\angle AOC$:

Perhatikan segitiga $\triangle AOC$. Karena $O$ adalah pusat lingkaran, maka $OA$ dan $OC$ adalah jari-jari lingkaran. Oleh karena itu, $OA = OC$, sehingga segitiga $\triangle AOC$ adalah segitiga sama kaki.

Dalam segitiga sama kaki $\triangle AOC$, sudut-sudut di kaki segitiga adalah sama besar, yaitu $\angle OAC = \angle OCA$.

Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^\circ$.

Jadi, besar $\angle OAC$ adalah $25^\circ$.

Pembahasan

Diketahui data: $55, a, 73, b$. Rata-rata data tersebut adalah $68$.

Diketahui selisih antara nilai $b$ dan $a$ adalah $22$.

Kita eliminasi persamaan (1) dan (2).

Jumlahkan kedua persamaan:

Substitusikan $b = 83$ ke persamaan (1):

Jadi, empat bilangan tersebut adalah $55, 61, 73, 83$. Data ini sudah terurut. Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Untuk 4 data, median adalah rata-rata dari data ke-2 dan ke-3.

Jadi, median dari keempat data tersebut adalah $67$.

Pembahasan

Kita cek kebenaran setiap pernyataan dengan mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal.

Pernyataan: $\frac{3}{7} > \frac{1}{3}$

Pernyataan: $\frac{1}{5} > \frac{2}{9}$

Pernyataan: $\frac{2}{3} > \frac{7}{8}$

Pernyataan: $\frac{3}{5} > \frac{5}{6}$

Pernyataan: $\frac{5}{9} > \frac{3}{4}$

Jadi, pernyataan yang benar adalah $\frac{3}{7} > \frac{1}{3}$.

Pembahasan

Perbandingan antara sendok teh dan sendok gula untuk membuat secangkir teh adalah:

Kita sederhanakan perbandingan dengan mengalikan kedua sisi dengan $2$:

Jika digunakan $2$ sendok teh, maka kita bisa mencari jumlah sendok gula ($a$) menggunakan perbandingan:

Jadi, nilai $P = a = 6$. Diketahui nilai $Q = 8$.

Maka, hubungan antara $P$ dan $Q$ adalah:

Pembahasan

Terdapat $3$ kotak yang tersedia. Dua kelereng akan dimasukkan ke dalam kotak tersebut, dengan syarat satu kotak hanya memuat satu kelereng.

Misalkan kotak diberi nomor 1, 2, 3 (dari kiri ke kanan).

Ruang sampel

Total cara memilih 2 kotak dari 3 kotak yang tersedia:

Kemungkinan pasangan kotak yang terisi:

• Kotak 2 - Berdekatan
• Kotak 3 - Berdekatan
• Kotak 3 - Tidak berdekatan

Kejadian yang diinginkan

Kejadian kelereng tidak berdekatan ($A$) adalah jika kotak yang terisi adalah 3.

Peluang

Peluang kelereng disimpan tidak boleh berdekatan:

Jadi, peluang kelereng disimpan tidak boleh berdekatan adalah $\frac{1}{3}$.

Pembahasan

Diketahui matriks $\mathbf{P} = \begin{pmatrix} 3 - x & -5 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$.

Rumus determinan matriks $2 \times 2$:

Untuk matriks $\mathbf{P}$:

Diketahui $\det(\mathbf{P}) = 33$, maka:

Jadi, nilai $x$ adalah $2$.

Pembahasan

Diketahui fungsi:

Kita substitusikan nilai $w = 5$, $z = 4$, $x = 3$, dan $y = 2$.

Jadi, nilai dari $A(5 \otimes 4 \oslash 3 \oplus 2)$ adalah $6$.

Pembahasan

Mari kita analisis setiap bangun datar berdasarkan simetri putar dan simetri lipat.

Penjelasan

Segidelapan beraturan

• Simetri putar $8$ (dapat diputar $45^\circ, 90^\circ, 135^\circ, \ldots, 315^\circ$).
• Simetri lipat $8$ (melalui diagonal dan garis tengah).

Belah ketupat bukan persegi

• Simetri putar $2$ (posisi awal dan rotasi $180^\circ$).
• Simetri lipat $2$ (melalui kedua diagonal).

Segitiga sama kaki bukan sama sisi

• Simetri putar $1$ (hanya posisi awal).
• Simetri lipat $1$ (melalui garis tinggi dari sudut puncak).

Layang-layang bukan persegi

• Simetri putar $1$ (hanya posisi awal).
• Simetri lipat $1$ (melalui salah satu diagonal).

Kesimpulan

Tidak ada bangun yang memiliki banyak simetri putar lebih besar dari banyak simetri lipat. Semua bangun memiliki jumlah simetri putar sama dengan atau lebih kecil dari simetri lipat.

Jadi, jawabannya adalah $0$.

Pembahasan

Syarat yang harus dipenuhi oleh bilangan $n$:

• Jika $n$ dibagi $8$ bersisa $5$.
• Jika $n$ dibagi $5$ bersisa $2$.

Mari kita periksa setiap pilihan.

Periksa nilai 29

• Dibagi $8$: $29 = 8 \times 3 + 5$ (sisa $5$ ✓)
• Dibagi $5$: $29 = 5 \times 5 + 4$ (sisa $4$ ✗)

Nilai $29$ tidak memenuhi syarat kedua.

Periksa nilai 37

• Dibagi $8$: $37 = 8 \times 4 + 5$ (sisa $5$ ✓)
• Dibagi $5$: $37 = 5 \times 7 + 2$ (sisa $2$ ✓)

Nilai $37$ memenuhi kedua syarat.

Periksa nilai 44

• Dibagi $8$: $44 = 8 \times 5 + 4$ (sisa $4$ ✗)
• Dibagi $5$: $44 = 5 \times 8 + 4$ (sisa $4$ ✗)

Nilai $44$ tidak memenuhi syarat.

Periksa nilai 77

• Dibagi $8$: $77 = 8 \times 9 + 5$ (sisa $5$ ✓)
• Dibagi $5$: $77 = 5 \times 15 + 2$ (sisa $2$ ✓)

Nilai $77$ memenuhi kedua syarat.

Kesimpulan

Yang memenuhi ketentuan di soal adalah (2) dan (4).

Pembahasan

Diketahui:

• $B_3 = 2$
• $B_5 = -1$
• $B_n = B_{n+2} + B_{n-1}$

Kita akan mencari nilai $B_2$ menggunakan rumus rekursif yang diberikan.

Mencari nilai B2

Gunakan rumus dengan $n = 3$.