Set 4

Pembahasan

Diketahui fungsi $f(x) = 2x - 1$. Kita akan mencari nilai $x_1 + x_2$ yang memenuhi persamaan $6f(x^2) - f^2(x) = 6x^2 - x$.

Pertama, kita cari bentuk dari $f(x^2)$ dan $f^2(x)$ atau $(f(x))^2$ terlebih dahulu.

Selanjutnya, kita substitusikan hasil tersebut ke dalam persamaan yang diketahui.

Kita pindahkan semua suku ke ruas kiri untuk membentuk persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$.

Dari persamaan kuadrat $2x^2 + 5x - 7 = 0$, kita peroleh nilai $a = 2$, $b = 5$, dan $c = -7$.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat ($x_1 + x_2$) dapat dihitung dengan rumus $-\frac{b}{a}$.

Jadi, nilai $x_1 + x_2$ adalah $-\frac{5}{2}$.

Pembahasan

Kita cari terlebih dahulu jumlah data awal.

Misalkan $x$ adalah datum yang diganti. Karena diganti dengan angka $34$, maka jumlah data baru menjadi:

Banyaknya data ($n$) tetap $7$. Rumus rata-rata baru ($\bar{x}_{baru}$) adalah:

Diketahui rata-rata baru sama dengan dua kali median baru ($\bar{x}_{baru} = 2 \times \text{Median}_{baru}$). Kita perlu mengecek kemungkinan nilai median baru.

Data awal terurut: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. Median awal adalah $4$. Angka pengganti $34$ pasti berada di posisi terakhir karena nilainya paling besar.

Kasus 1: Jika angka yang diganti adalah 1, 2, 3, atau 4

Misalnya kita ganti $1$, data menjadi $2, 3, 4, 5, 6, 7, 34$. Mediannya menjadi $5$. Hal yang sama berlaku jika kita ganti $2, 3$, atau $4$. Data akan bergeser sehingga median menjadi $5$.

Mari kita uji ke persamaan:

Hasil $x = -8$ tidak memenuhi karena data harus diambil dari himpunan awal ($1$ s.d. $7$).

Kasus 2: Jika angka yang diganti adalah 5, 6, atau 7

Misalnya kita ganti $7$, data menjadi $1, 2, 3, 4, 5, 6, 34$. Mediannya tetap $4$. Hal yang sama berlaku jika kita ganti $5$ atau $6$. Median tetap $4$.

Mari kita uji ke persamaan:

Hasil $x = 6$ memenuhi karena $6$ ada di dalam data awal.

Jadi, angka yang diganti adalah $6$. Maka, $P = 6$ dan $Q = 6$.

Kesimpulannya, $P = Q$.

Pembahasan

Kita analisis terlebih dahulu kondisi proyek sebelum dan sesudah ada pekerja yang sakit.

Rencana Awal:

Pekerjaan direncanakan selesai oleh $12$ orang dalam $16$ hari. Total beban kerja = $12 \times 16 = 192$ satuan pekerjaan.

Setelah 4 Hari Berjalan:

Pekerjaan sudah dikerjakan selama $4$ hari oleh $12$ orang. Pekerjaan yang sudah selesai = $12 \times 4 = 48$ satuan. Sisa beban kerja = $192 - 48 = 144$ satuan.

Selain itu, sisa waktu normalnya adalah $16 - 4 = 12$ hari jika dikerjakan oleh $12$ orang.

Kondisi Perubahan:

Terdapat $4$ orang sakit, sehingga sisa pekerja yang ada adalah $12 - 4 = 8$ orang. Kita gunakan perbandingan berbalik nilai untuk mencari waktu tambahan ($w$) yang dibutuhkan oleh $8$ orang untuk menyelesaikan sisa pekerjaan.

Jadi, $8$ orang pekerja membutuhkan $18$ hari lagi untuk menyelesaikan sisa proyek.

Total waktu penyelesaian proyek adalah waktu yang sudah berjalan ditambah waktu sisa yang dibutuhkan.

Jadi, proyek tersebut dapat diselesaikan dalam waktu $22$ hari.

Pembahasan

Diketahui fungsi $f(x) = x^2 - x$ dan $g(x) = 2x - 1$. Kita diminta untuk mencari nilai fungsi komposisi $(fog)(x)$.

Kita substitusikan $g(x)$ ke dalam fungsi $f(x)$.

Selanjutnya, kita uraikan bentuk kuadrat dan selesaikan persamaannya.

Jadi, nilai $(fog)(x)$ adalah $4x^2 - 6x + 2$.

Pembahasan

Mari kita analisis setiap pernyataan satu per satu berdasarkan grafik yang diberikan.

1. Pengecekan Titik Potong Sumbu Y (Pernyataan 1)

Dari gambar, titik potong dengan sumbu $y$ terlihat berada di $(0, -1)$ dan satu titik lagi di bagian atas.

Mari kita cari persamaannya terlebih dahulu. Titik puncak parabola tersebut berada di $(4, 1)$.

Bentuk umum persamaan parabola horizontal dengan puncak $(x_p, y_p)$ adalah $x = a(y - y_p)^2 + x_p$.

Substitusikan $x_p = 4$ dan $y_p = 1$:

Kurva melalui titik $(0, -1)$. Kita substitusikan titik ini untuk mencari nilai $a$.

Jadi, persamaan kurvanya adalah $x = -(y - 1)^2 + 4$.

Sekarang kita cari titik potong dengan sumbu $y$ (saat $x = 0$):

Solusi 1: $y - 1 = 2 \Rightarrow y = 3$. Titik potongnya $(0, 3)$.

Solusi 2: $y - 1 = -2 \Rightarrow y = -1$. Titik potongnya $(0, -1)$.

Pernyataan (1) menyebutkan $(0, 2)$, yang mana SALAH.

2. Pengecekan Persamaan Kurva (Pernyataan 2)

Dari perhitungan di atas, kita sudah mendapatkan persamaan kurvanya adalah:

Dalam notasi fungsi $f(y)$, ini ditulis sebagai $f(y) = -(y - 1)^2 + 4$.

Pernyataan (2) BENAR.

3. Pengecekan Titik Potong Sumbu X (Pernyataan 3)

Titik potong dengan sumbu $x$ terjadi saat $y = 0$.

Jadi, titik potong dengan sumbu $x$ adalah $(3, 0)$.

Pernyataan (3) menyebutkan $(1, 0)$, yang mana SALAH.

4. Pengecekan Titik Puncak (Pernyataan 4)

Dari grafik, terlihat jelas titik puncaknya adalah $(4, 1)$.

Absis (nilai $x$) dari titik puncak adalah $4$.

Pernyataan (4) BENAR.

Kesimpulan:

Pernyataan yang benar adalah (2) dan (4).

Maka, jawabannya adalah C.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung, kita perlu mencari gradien ($m$) dan titik singgungnya terlebih dahulu.

Menentukan Gradien

Gradien adalah turunan pertama dari fungsi kurva ($y'$).

Substitusikan absis $x = 1$ ke dalam $y'$ untuk mendapatkan gradien.

Menentukan Titik Singgung

Kita cari nilai ordinat ($y$) saat absis $x = 1$.

Jadi, titik singgungnya adalah $(1, 2)$.

Menentukan Persamaan Garis Singgung

Gunakan rumus persamaan garis singgung $y - y_1 = m(x - x_1)$ dengan $m = 1$ dan titik $(1, 2)$.

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y = x + 1$.

Pembahasan

Kita akan memeriksa setiap bilangan berdasarkan dua syarat yang diberikan:

• Syarat 1: Bilangan dibagi $7$ bersisa $3$.
• Syarat 2: Bilangan dibagi $2$ bersisa $1$ (artinya bilangan ganjil).

Pengecekan Bilangan 1 (94)

• Dibagi 7: $94 \div 7 = 13$ sisa $3$ (Memenuhi syarat 1).
• Dibagi 2: $94$ adalah bilangan genap, jadi $94 \div 2$ sisa $0$ (Tidak memenuhi syarat 2).

Kesimpulan: Bilangan 94 tidak benar.

Pengecekan Bilangan 2 (80)

• Dibagi 7: $80 \div 7 = 11$ sisa $3$ (Memenuhi syarat 1).
• Dibagi 2: $80$ adalah bilangan genap, jadi $80 \div 2$ sisa $0$ (Tidak memenuhi syarat 2).

Kesimpulan: Bilangan 80 tidak benar.

Pengecekan Bilangan 3 (38)

• Dibagi 7: $38 \div 7 = 5$ sisa $3$ (Memenuhi syarat 1).
• Dibagi 2: $38$ adalah bilangan genap, jadi $38 \div 2$ sisa $0$ (Tidak memenuhi syarat 2).

Kesimpulan: Bilangan 38 tidak benar.

Pengecekan Bilangan 4 (17)

• Dibagi 7: $17 \div 7 = 2$ sisa $3$ (Memenuhi syarat 1).
• Dibagi 2: $17$ adalah bilangan ganjil, jadi $17 \div 2$ sisa $1$ (Memenuhi syarat 2).

Kesimpulan: Bilangan 17 benar.

Kesimpulan Akhir

Soal menanyakan mana bilangan yang tidak benar. Berdasarkan pengecekan di atas, bilangan yang tidak memenuhi kedua syarat tersebut adalah nomor (1), (2), dan (3).

Pembahasan

Mari kita analisis setiap bangun datar berdasarkan jumlah simetri lipat dan simetri putarnya.

Syarat yang diminta adalah:

1. Simetri putar $\ge 2$
2. Simetri lipat $\ge 3$

Segitiga Sembarang

• Simetri lipat: 0 (tidak memiliki sumbu simetri).
• Simetri putar: 1 (hanya kembali ke posisi semula setelah diputar 360 derajat).

Kesimpulan: Tidak memenuhi kedua syarat.

Jajar Genjang Bukan Belah Ketupat

• Simetri lipat: 0 (tidak memiliki sumbu simetri).
• Simetri putar: 2 (simetri putar tingkat 2).

Kesimpulan: Memenuhi syarat simetri putar, tetapi tidak memenuhi syarat simetri lipat.

Elips

• Simetri lipat: 2 (sumbu mayor dan sumbu minor).
• Simetri putar: 2 (simetri putar tingkat 2).

Kesimpulan: Memenuhi syarat simetri putar, tetapi tidak memenuhi syarat simetri lipat (karena hanya punya 2, diminta minimal 3).

Segienam Beraturan

• Simetri lipat: 6 (memiliki 6 sumbu simetri).
• Simetri putar: 6 (simetri putar tingkat 6).

Kesimpulan: Memenuhi kedua syarat (simetri putar $6 \ge 2$ dan simetri lipat $6 \ge 3$).

Kesimpulan Akhir

Dari keempat bangun datar tersebut, hanya 1 bidang datar yang memenuhi kriteria, yaitu Segienam beraturan.

Pembahasan

Diketahui rumus rekursif barisan adalah $b_{n+2} = b_{n+1} - 3b_n$. Kita juga mengetahui nilai $b_4 = 5$ dan $b_5 = -1$. Kita diminta untuk mencari nilai $b_2$. Kita akan mencarinya dengan mundur dari $b_5$ ke $b_3$, lalu ke $b_2$.

Mencari Nilai b3

Gunakan rumus dengan $n = 3$:

Substitusikan nilai $b_5 = -1$ dan $b_4 = 5$:

Mencari Nilai b2

Gunakan rumus dengan $n = 2$:

Substitusikan nilai $b_4 = 5$ dan $b_3 = 2$:

Jadi, nilai $b_2$ adalah $-1$.

Pembahasan

Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 5 & 3 - x \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ dan determinannya adalah $8$.

Rumus determinan matriks ordo $2 \times 2$ yaitu $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah $\det(A) = ad - bc$.

Mari kita hitung determinan matriks $A$:

Diketahui $\det(A) = 8$, maka:

Jadi, nilai $x$ adalah $0$.

Pembahasan

Diketahui persamaan $(f(x))^2 - 6f(x) = -8$ dengan $f(x) = 2x - 4$.

Pertama, kita ubah persamaan tersebut menjadi bentuk umum persamaan kuadrat:

Kemudian kita substitusikan $f(x) = 2x - 4$ ke dalam persamaan:

Uraikan bentuk kuadrat dan selesaikan persamaan:

Dari persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$, hasil kali akar-akar ($x_1 \cdot x_2$) dirumuskan sebagai $\frac{c}{a}$.

Diketahui:

Maka:

Jadi, nilai $x_1 \cdot x_2$ adalah $12$.

Pembahasan

Diketahui:

• Total siswa ($S$) = $800$ orang.
• Siswa suka Matematika ($M$) = $400$ orang.
• Siswa suka Fisika ($F$) = $500$ orang.

Kita akan mencari nilai maksimum ($x$) dan minimum ($y$) dari irisan kedua himpunan tersebut (siswa yang menyukai keduanya).

Mencari Nilai Maksimum x

Jumlah siswa yang menyukai keduanya akan maksimum jika himpunan yang lebih kecil merupakan bagian dari himpunan yang lebih besar. Di sini, jumlah siswa yang suka Matematika ($400$) lebih sedikit daripada Fisika ($500$). Maka, nilai maksimum irisannya adalah jumlah siswa pada grup terkecil.

Mencari Nilai Minimum y

Jumlah siswa yang menyukai keduanya akan minimum jika penyebarannya merata sebisa mungkin sehingga total gabungannya maksimal (sama dengan total siswa seluruhnya).

Gunakan rumus himpunan: $n(M \cup F) = n(M) + n(F) - n(M \cap F)$.

Untuk mendapatkan irisan minimum, kita anggap semua siswa ($800$) menyukai setidaknya satu dari kedua pelajaran tersebut (tidak ada yang tidak suka keduanya).

Menghitung Selisih

Terakhir, kita hitung selisih antara nilai maksimum dan minimum.

Jadi, nilai dari $x - y$ adalah $300$ orang.

Pembahasan

Kita akan menentukan jumlah sandi yang mungkin dengan menggunakan aturan perkalian kombinatorik.

Susunan sandi: Angka - Huruf - Angka - Huruf (diawali angka dan berselang-seling).

Menghitung Pilihan Posisi 1 (Angka Pertama)

Angka pertama adalah bilangan ganjil ($1, 3, 5, 7, 9$).

Banyaknya pilihan = $5$.

Menghitung Pilihan Posisi 2 (Huruf Pertama)

Huruf vokal: $A, E, I, O, U$ (total $5$ huruf vokal).

Huruf pertama bukan huruf $A$, maka pilihan yang tersisa: $E, I, O, U$.

Banyaknya pilihan = $4$.

Menghitung Pilihan Posisi 3 (Angka Kedua)

Angka kedua dipilih dari $2, 4, 6, 8$ (total $4$ pilihan).

Karena angka tidak boleh berulang, maka kita harus pastikan angka kedua berbeda dari angka pertama. Namun angka pertama ganjil dan angka kedua genap, sehingga otomatis tidak ada yang berulang.

Banyaknya pilihan = $4$.

Menghitung Pilihan Posisi 4 (Huruf Kedua)

Huruf kedua adalah huruf $O$ (tetap/pasti).

Banyaknya pilihan = $1$.

Menghitung Total Sandi

Gunakan aturan perkalian:

Namun, kita harus memeriksa apakah huruf bisa berulang. Dari soal, huruf tidak boleh berulang. Mari kita cek kasus di mana huruf pertama adalah $O$ (sama dengan huruf kedua).

Jika huruf pertama = $O$, maka terjadi pengulangan huruf. Pilihan huruf pertama yang valid adalah $E, I, U$ (tidak boleh $A$ dan tidak boleh $O$ karena $O$ sudah digunakan di posisi kedua).

Jadi:

• Angka pertama = $5$ pilihan.
• Huruf pertama = $3$ pilihan ($E, I, U$).
• Angka kedua = $4$ pilihan.
• Huruf kedua = $1$ pilihan ($O$).

Jadi, banyak sandi yang dapat dibentuk adalah $60$.

Pembahasan

Diketahui data terurut: $1, 1, 2, x, 10, y, 17, 18$ (total $8$ data).

Rata-rata dan median data adalah $9$.

Mencari Nilai x dari Median

Karena ada $8$ data (genap), median adalah rata-rata dari data ke-4 dan ke-5.

Mencari Nilai y dari Rata-rata

Total semua data dibagi banyaknya data sama dengan rata-rata.

Menghitung Rata-rata 4 Bilangan Terakhir

Data lengkapnya: $1, 1, 2, 8, 10, 15, 17, 18$.

4 bilangan terakhir adalah: $10, 15, 17, 18$.

Membandingkan P dan Q

Nilai $P = 15$ dan $Q = 15$.

Jadi, $P = Q$.

Pembahasan

Kita akan menyederhanakan bentuk P dan Q terlebih dahulu.

Menyederhanakan Bentuk P

Ingat bahwa $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Perhatikan bahwa $16^x = (4^x)^2$.

Menyederhanakan Bentuk Q

Dengan cara yang sama, perhatikan bahwa $16^{-x} = (4^{-x})^2$.

Menganalisis Nilai P

Diketahui $1 < x < 2$.

Menganalisis Nilai Q

Diketahui $1 < x < 2$. Kalikan dengan $-1$ (tanda pertidaksamaan berbalik).

Membandingkan P dan Q

Dari hasil di atas, kita peroleh:

• $P > 5$
• $Q < \frac{5}{4} = 1.25$

Jelas terlihat bahwa nilai $P$ selalu lebih besar daripada $Q$ untuk rentang $x$ yang diberikan.