Set 5

Pembahasan

Kita diberikan dua suku pertama barisan, yaitu $a_1 = -6$ dan $a_2 = -8$, serta persamaan rekursif:

Tujuan kita adalah mencari nilai $a_3 + 2a_4$. Kita akan mencari nilai $a_3$ dan $2a_4$ secara bertahap.

Mencari Nilai Suku Ketiga

Kita gunakan persamaan rekursif dengan mensubstitusi $n = 1$:

Substitusikan nilai $a_1$ dan $a_2$ yang diketahui:

Pindahkan $-18$ ke ruas kiri:

Mencari Nilai Dua Kali Suku Keempat

Selanjutnya, kita gunakan kembali persamaan rekursif dengan $n = 2$ untuk memunculkan suku $a_4$:

Substitusikan nilai $a_3 = 5$ dan $a_2 = -8$:

Kita bisa langsung mencari nilai $2a_4$ (karena soal menanyakan $a_3 + 2a_4$):

Hasil Akhir

Sekarang kita jumlahkan nilai yang sudah didapat:

Jadi, nilai dari $a_3 + 2a_4$ adalah 34.

Pembahasan

Kita diberikan persamaan determinan matriks ordo $2 \times 2$. Ingat bahwa rumus determinan matriks $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ adalah $ad - bc$.

Menghitung Determinan Ruas Kiri

Pertama, kita hitung nilai determinan matriks di ruas kiri:

Menghitung Determinan Ruas Kanan

Selanjutnya, kita hitung nilai determinan matriks di ruas kanan yang mengandung variabel $x$:

Menentukan Nilai Variabel

Sekarang kita samakan kedua hasil determinan tersebut sesuai persamaan awal:

Bagi kedua ruas dengan 10 untuk mendapatkan nilai $x$:

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah -3.

Pembahasan

Kita diberikan dua kondisi untuk bilangan bulat $n$:

1. $n \equiv 2 \pmod{4}$ (jika dibagi $4$ bersisa $2$)
2. $n \equiv 2 \pmod{6}$ (jika dibagi $6$ bersisa $2$)

Kita akan memeriksa setiap pernyataan untuk melihat apakah nilai $n$ tersebut memenuhi kedua kondisi.

Memeriksa Pernyataan 1

Nilai $n = 18$.

• Dibagi $4$: $18 \div 4 = 4$ sisa $2$. (Memenuhi)
• Dibagi $6$: $18 \div 6 = 3$ sisa $0$. (Tidak Memenuhi)

Jadi, pernyataan $(1)$ salah.

Memeriksa Pernyataan 2

Nilai $n = 24$.

• Dibagi $4$: $24 \div 4 = 6$ sisa $0$. (Tidak Memenuhi)

Jadi, pernyataan $(2)$ salah.

Memeriksa Pernyataan 3

Nilai $n = 36$.

• Dibagi $4$: $36 \div 4 = 9$ sisa $0$. (Tidak Memenuhi)

Jadi, pernyataan $(3)$ salah.

Memeriksa Pernyataan 4

Nilai $n = 38$.

• Dibagi $4$: $38 \div 4 = 9$ sisa $2$. (Memenuhi)
• Dibagi $6$: $38 \div 6 = 6$ sisa $2$. (Memenuhi)

Jadi, pernyataan $(4)$ benar.

Kesimpulan

Dari keempat pilihan, hanya pernyataan $(4)$ yang memenuhi kedua kondisi tersebut.

Pembahasan

Kita akan menyederhanakan bentuk $P$ dan $Q$ terlebih dahulu untuk membandingkan nilainya.

Menyederhanakan Nilai P

Diketahui $P = \frac{1 - x^6}{1 - x^3}$. Ingat bentuk selisih kuadrat $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Kita bisa memandang $1 - x^6$ sebagai $1^2 - (x^3)^2$.

Menyederhanakan Nilai Q

Diketahui $Q = (1 + x)^3$. Kita jabarkan menggunakan ekspansi binomial:

Membandingkan P dan Q

Kita cari selisih antara $Q$ dan $P$:

Diketahui syarat $0 < x < 1$. Karena $x$ positif ($x > 0$), maka:

• $3x > 0$
• $3x^2 > 0$

Sehingga, penjumlahan keduanya pasti positif:

Atau dapat ditulis $P < Q$.

Kesimpulan

Jadi, hubungan yang benar adalah $P < Q$.

Pembahasan

Kita akan mencari fungsi komposisi $(g \circ f)(x)$.

Memahami Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi $(g \circ f)(x)$ didefinisikan sebagai:

Ini berarti kita akan memasukkan seluruh fungsi $f(x)$ ke dalam variabel $x$ pada fungsi $g(x)$.

Substitusi Fungsi

Diketahui:

• $f(x) = x^2 + 4x - 5$
• $g(x) = 2x - 1$

Kita substitusikan $f(x)$ ke dalam $g(x)$:

Karena $g(x) = 2x - 1$, maka kita ganti setiap $x$ di $g(x)$ dengan $(x^2 + 4x - 5)$:

Menyederhanakan Hasil

Sekarang kita distribusikan perkalian dan sederhanakan:

Kesimpulan

Jadi, hasil komposisi fungsi tersebut adalah $2x^2 + 8x - 11$.

Pembahasan

Kita akan mencari nilai bilangan yang ditambahkan, menentukan median baru, dan kemudian membandingkan nilai $P$ dan $Q$.

Mencari Nilai Bilangan Tambahan

Misalkan dua bilangan asli yang ditambahkan adalah $x$. Total data awal adalah $7$ bilangan: $2, 3, 5, 7, 8, 9, 11$. Jumlah data awal:

Setelah ditambahkan $2$ bilangan $x$, banyak data menjadi $7 + 2 = 9$. Diketahui rata-rata baru adalah $9$.

Jadi, bilangan yang ditambahkan adalah $18$.

Menentukan Median Data Baru

Data baru setelah ditambahkan $18$ dan $18$ adalah:

Data sudah terurut. Karena banyak data $n = 9$ (ganjil), median adalah data ke-$\frac{9+1}{2} = 5$.

Menghitung Nilai P

Nilai $P$ didefinisikan sebagai selisih median data baru dengan rata-rata data baru. Rata-rata data baru sudah diketahui $= 9$.

Membandingkan P dan Q

Diketahui $Q = -12$.

Karena $-1 > -12$, maka:

Kesimpulan

Jadi, hubungan yang benar adalah $P > Q$.

Pembahasan

Kita diberikan fungsi $f(x) = 2x + 3$ dan persamaan $3f^2(x) = f(x) + 7$. Kita akan mencari jumlah akar-akar persamaan tersebut, yaitu $x_1 + x_2$.

Substitusi Fungsi

Langkah pertama adalah mensubstitusikan $f(x)$ ke dalam persamaan yang diberikan.

Menyederhanakan Persamaan

Selanjutnya, kita jabarkan bentuk kuadrat dan sederhanakan persamaan menjadi bentuk umum persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$.

Pindahkan semua suku ke ruas kiri:

Menggunakan Rumus Jumlah Akar

Dari persamaan kuadrat $12x^2 + 34x + 17 = 0$, kita peroleh nilai koefisien:

• $a = 12$
• $b = 34$
• $c = 17$

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat dapat dihitung menggunakan rumus $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.

Sederhanakan pecahan tersebut dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $2$:

Kesimpulan

Jadi, nilai $x_1 + x_2$ adalah $-\frac{17}{6}$.

Pembahasan

Kita dapat menyelesaikan masalah ini dengan konsep perbandingan berbalik nilai atau total beban kerja (orang-hari).

Menghitung Beban Kerja

Total beban kerja yang direncanakan adalah:

Pekerjaan ini terbagi menjadi dua tahap:

1. Tahap pertama: $24$ orang bekerja selama $8$ hari.
2. Tahap kedua: Setengah pekerja berhenti, sehingga tersisa $24 / 2 = 12$ orang bekerja selama $P$ hari.

Persamaannya adalah:

Mencari Nilai P

Kita selesaikan persamaan di atas untuk mencari $P$ (lama waktu pengerjaan sisa proyek).

Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan sisa pekerjaan dengan $12$ orang adalah $54$ hari.

Menghitung Waktu Tambahan

Berdasarkan solusi yang diberikan, waktu tambahan dihitung dengan selisih antara durasi pengerjaan sisa proyek ($P$) dengan total target awal ($35$ hari).

Jadi, dibutuhkan waktu tambahan selama $19$ hari.

Pembahasan

Kita periksa kebenaran masing-masing pernyataan berdasarkan fungsi yang diberikan pada grafik: Fungsi eksponen: $y = 2^x - 2$ Fungsi linear: $y = -2x + 4$

Memeriksa Titik A

Titik $A$ adalah titik potong kurva eksponen dengan sumbu Y ($x=0$).

Jadi, $A(0, -1)$. Pernyataan $(1)$ BENAR.

Memeriksa Titik B

Titik $B$ adalah titik potong kurva eksponen dengan sumbu X ($y=0$).

Jadi, $B(1, 0)$. Pernyataan $(2)$ BENAR.

Memeriksa Titik C

Titik $C$ adalah titik potong garis linear dengan sumbu X ($y=0$).

Jadi, $C(2, 0)$. Pernyataan $(3)$ BENAR.

Memeriksa Titik D

Titik $D$ adalah titik potong antara kedua kurva atau titik pada garis. Pernyataan menyebutkan $D(2, 2)$. Jika kita uji koordinat $(2, 2)$ ke dalam persamaan garis $y = -2x + 4$:

Hasilnya $y = 0$, bukan $2$. Jadi, titik $(2, 2)$ tidak terletak pada garis $y = -2x + 4$. Pernyataan $(4)$ SALAH.

Kesimpulan: Pernyataan $(1)$, $(2)$, dan $(3)$ benar.

Pembahasan

Kita analisis simetri lipat dan simetri putar untuk setiap bangun datar yang diberikan:

1. Segienam beraturan

   • Simetri lipat: $6$ (garis melalui sudut dan garis melalui sisi).
   • Simetri putar: $6$ (sudut putar $60^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 240^\circ, 300^\circ, 360^\circ$).
   • Kesimpulan: $6 = 6$. Bangun $(1)$ memenuhi.

2. Segitiga siku-siku sama kaki

   • Simetri lipat: $1$ (garis tinggi dari sudut siku-siku ke hipotenusa).
   • Simetri putar: $1$ (hanya posisi awal $360^\circ$).
   • Kesimpulan: $1 = 1$. Bangun $(2)$ memenuhi.

3. Trapesium siku-siku

   • Simetri lipat: $0$ (tidak memiliki sumbu simetri).
   • Simetri putar: $1$ (hanya posisi awal $360^\circ$).
   • Kesimpulan: $0 \neq 1$. Bangun $(3)$ tidak memenuhi.

4. Persegi panjang bukan persegi

   • Simetri lipat: $2$ (garis vertikal dan horizontal di tengah).
   • Simetri putar: $2$ (sudut putar $180^\circ$ dan $360^\circ$).
   • Kesimpulan: $2 = 2$. Bangun $(4)$ memenuhi.

Jadi, bangun yang memiliki banyak simetri lipat sama dengan simetri putar adalah bangun $(1)$, $(2)$, dan $(4)$. Ada $3$ bangun.

Pembahasan

Diketahui:

• Total mahasiswa $= 700$.
• Mahasiswa memilih olahraga $= 350$.
• Mahasiswa memilih kesenian $= 450$.

Kita akan mencari nilai $P$ (maksimum irisan) dan $Q$ (minimum irisan).

1. Mencari $P$ (Maksimum Irisan) Jumlah maksimum mahasiswa yang mengikuti keduanya terjadi jika salah satu himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan lainnya (atau sebanyak mungkin anggota himpunan yang lebih kecil masuk ke dalam himpunan yang lebih besar).

   $$P = \min(350, 450) = 350 \text{ orang}$$

2. Mencari $Q$ (Minimum Irisan) Jumlah minimum mahasiswa yang mengikuti keduanya terjadi jika penyebaran mahasiswa semerata mungkin sehingga gabungan kedua himpunan tersebut maksimal (sama dengan total semesta, yaitu $700$). Menggunakan prinsip Inklusi-Eksklusi:

   $$\text{Irisan} = (\text{Olahraga} + \text{Kesenian}) - \text{Total}$$

   $$Q = (350 + 450) - 700$$

   $$Q = 800 - 700 = 100 \text{ orang}$$

3. Mencari Selisih $P$ dan $Q$

   $$P - Q = 350 - 100 = 250 \text{ orang}$$

Jadi, selisih $P$ dan $Q$ adalah $250$ orang.

Pembahasan

Kita analisis setiap pernyataan berdasarkan grafik:

1. Pernyataan $(1)$: Grafik memotong sumbu-$y$ di $4$ dan $-2$. Jadi titik potongnya adalah $(0, 4)$ dan $(0, -2)$. Pernyataan $(1)$ BENAR.

2. Pernyataan $(2)$: Karena grafik memotong sumbu-$y$ di $y = 4$ dan $y = -2$, maka persamaannya berbentuk:

   $$x = a(y - 4)(y + 2)$$

   Grafik melalui titik $(8, 0)$ (titik potong sumbu-$x$). Substitusikan ke persamaan:

   $$8 = a(0 - 4)(0 + 2)$$

   $$8 = a(-4)(2)$$

   $$8 = -8a \implies a = -1$$

   Jadi persamaan fungsinya adalah:

   $$x = -(y - 4)(y + 2)$$

   $$x = -(y^2 - 2y - 8)$$

   $$x = -y^2 + 2y + 8$$

   Mengubah ke bentuk kuadrat sempurna (vertex form):

   $$x = -(y^2 - 2y + 1 - 1 - 8)$$

   $$x = -((y - 1)^2 - 9)$$

   $$x = -(y - 1)^2 + 9$$

   Atau dalam notasi fungsi $f(y)$:

   $$f(y) = -(y - 1)^2 + 9$$

   Pernyataan $(2)$ BENAR.

3. Pernyataan $(3)$: Sumbu simetri parabola horizontal adalah $y_p$ (ordinat puncak). Dari bentuk $x = a(y - y_p)^2 + x_p$, kita dapatkan $y_p = 1$. Atau dari titik tengah akar-akarnya:

   $$y = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

   Jadi sumbu simetri adalah $y = 1$. Pernyataan $(3)$ BENAR.

4. Pernyataan $(4)$: Titik potong dengan sumbu-$x$ terjadi saat $y = 0$. Dari grafik terlihat jelas memotong di $x = 8$. Secara perhitungan: $x = -(0 - 1)^2 + 9 = -1 + 9 = 8$. Jadi titik potongnya $(8, 0)$. Pernyataan $(4)$ BENAR.

Kesimpulan: Semua pernyataan $(1)$, $(2)$, $(3)$, dan $(4)$ adalah benar.

Pembahasan

Pertama, kita cari lebar lapangan yang sebenarnya. Diketahui luas lapangan $L = 384\text{ m}^2$ dan panjang $p = 32\text{ m}$. Maka lebar lapangan sebenarnya ($l$) adalah:

Selanjutnya, kita konversi lebar sebenarnya ke dalam satuan cm agar sesuai dengan satuan pada gambar.

Terakhir, kita hitung lebar lapangan pada gambar menggunakan perbandingan skala $3 : 600$.

Jadi, lebar lapangan pada gambar adalah $6\text{ cm}$.

Pembahasan

Diketahui fungsi kuadrat $y = -2x^2 - 5x + 7$. Kita diminta mencari persamaan garis singgung di titik dengan absis $x_1 = 2$.

Langkah pertama, kita cari ordinat ($y_1$) titik singgung dengan mensubstitusikan $x_1 = 2$ ke persamaan kurva:

Jadi, titik singgungnya adalah $(2, -11)$.

Langkah kedua, kita cari gradien garis singgung ($m$) dengan menggunakan turunan pertama ($y'$):

Substitusikan $x = 2$ ke turunan pertama untuk mendapatkan gradien:

Langkah ketiga, kita tentukan persamaan garis singgung dengan rumus $y - y_1 = m(x - x_1)$: