Set 7

Pembahasan

Kita akan menganalisis setiap pernyataan berdasarkan grafik yang diberikan.

Analisis Pernyataan 1

Berdasarkan grafik, terlihat jelas bahwa kurva memotong sumbu $x$ di titik $(4, 0)$.

Jadi, pernyataan $(1)$ benar.

Analisis Pernyataan 2

Berdasarkan grafik, kurva memotong sumbu $y$ di dua titik, yaitu di $y = 3$ dan $y = -5$. Maka titik potongnya adalah $(0, 3)$ dan $(0, -5)$.

Pernyataan $(2)$ menyebutkan titik potongnya adalah $(0, -5)$ dan $(0, 1)$. Karena $(0, 3) \neq (0, 1)$, maka pernyataan ini tidak sesuai dengan grafik.

Jadi, pernyataan $(2)$ salah.

Analisis Pernyataan 3

Sumbu simetri untuk parabola horizontal dapat ditentukan dari titik tengah antara kedua titik potong sumbu $y$ (jika diketahui).

Diperoleh sumbu simetri adalah garis $y = -1$.

Jadi, pernyataan $(3)$ benar.

Analisis Pernyataan 4

Karena sumbu simetri adalah garis horizontal $y = -1$, maka pernyataan bahwa sumbu simetri adalah $x = -3$ (garis vertikal) jelas keliru.

Jadi, pernyataan $(4)$ salah.

Kesimpulan

Pernyataan yang benar adalah pernyataan $(1)$ dan $(3)$.

Pembahasan

Diketahui fungsi $y = -x^2 - 2x + 8$. Kita akan mencari persamaan garis singgung di titik dengan absis $x = -2$.

Mencari Nilai Ordinat

Substitusikan $x = -2$ ke dalam persamaan kurva:

Jadi, titik singgungnya adalah $(-2, 8)$.

Mencari Gradien Garis Singgung

Gradien garis singgung $m$ adalah nilai turunan pertama $y'$ pada absis titik singgung.

Substitusikan $x = -2$:

Menentukan Persamaan Garis Singgung

Gunakan rumus persamaan garis yang melalui titik $(x_1, y_1)$ dengan gradien $m$:

Substitusikan $x_1 = -2$, $y_1 = 8$, dan $m = 2$:

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y = 2x + 12$.

Pembahasan

Kita akan memeriksa setiap bilangan apakah memenuhi dua syarat berikut:

1. Jika dibagi $5$ bersisa $4$ ($n \equiv 4 \pmod 5$).
2. Jika dibagi $4$ bersisa $3$ ($n \equiv 3 \pmod 4$).

Cek Bilangan 19

Bilangan $19$ memenuhi kedua syarat. (Benar)

Cek Bilangan 29

Bilangan $29$ tidak memenuhi syarat kedua karena bersisa $1$ saat dibagi $4$. (Salah)

Cek Bilangan 39

Bilangan $39$ memenuhi kedua syarat. (Benar)

Cek Bilangan 49

Bilangan $49$ tidak memenuhi syarat kedua karena bersisa $1$ saat dibagi $4$. (Salah)

Kesimpulan

Bilangan yang memenuhi syarat adalah $19$ dan $39$ (Pernyataan $1$ dan $3$).

Pembahasan

Kita akan menganalisis jumlah simetri lipat dan simetri putar untuk setiap bangun datar. Syarat yang diminta adalah memiliki paling banyak $2$ simetri lipat dan $2$ simetri putar.

Analisis Trapesium Siku-siku

Trapesium siku-siku tidak memiliki sumbu simetri maupun simetri putar tingkat tinggi (hanya simetri putar tingkat $1$, yaitu posisi awal).

• Simetri lipat: $0$
• Simetri putar: $1$

Bangun ini memenuhi syarat (karena $0 \le 2$ dan $1 \le 2$).

Analisis Segilima Beraturan

Segilima beraturan memiliki $5$ sisi yang sama panjang.

• Simetri lipat: $5$
• Simetri putar: $5$

Bangun ini tidak memenuhi syarat.

Analisis Segitiga Sama Sisi

Segitiga sama sisi memiliki $3$ sisi yang sama panjang.

• Simetri lipat: $3$
• Simetri putar: $3$

Bangun ini tidak memenuhi syarat.

Analisis Layang-layang Bukan Persegi

Layang-layang memiliki satu sumbu simetri utama.

• Simetri lipat: $1$
• Simetri putar: $1$

Bangun ini memenuhi syarat.

Kesimpulan

Bangun datar yang memenuhi syarat adalah:

1. Trapesium siku-siku.
2. Layang-layang bukan persegi.

Jadi, ada $2$ bidang datar yang memenuhi syarat.

Pembahasan

Diketahui rumus rekursif barisan bilangan:

Kita diberikan nilai $a_3 = -1$ dan $a_5 = 3$. Kita diminta untuk mencari nilai $a_2$.

Pertama, kita mencari nilai $a_4$ menggunakan rumus rekursif dengan mensubstitusi $n = 3$ untuk menghubungkan $a_3$, $a_4$, dan $a_5$.

Substitusikan nilai $a_5 = 3$ dan $a_3 = -1$:

Selanjutnya, kita mencari nilai $a_2$. Karena kita sudah memiliki nilai $a_3$ dan $a_4$, kita bisa menggunakan rumus rekursif dengan $n = 2$ untuk menghubungkan $a_2$, $a_3$, dan $a_4$.

Substitusikan nilai $a_3 = -1$ dan $a_4 = 1$:

Jadi, nilai $a_2$ adalah $-1$.

Pembahasan

Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & x-2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$. Kita diminta untuk mencari nilai $x$ jika $\det(A) = 8$.

Determinan matriks ordo $2 \times 2$ dihitung dengan rumus $ad - bc$.

Kita tahu bahwa $\det(A) = 8$, maka:

Jadi, nilai $x$ adalah $8$.

Pembahasan

Kita diberikan persamaan $(f(x))^2 = 5f(x) - 4$. Kita bisa mengubahnya menjadi persamaan kuadrat dalam $f(x)$:

Persamaan ini dipenuhi oleh $x_1$ dan $x_2$. Berdasarkan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat ($x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$), maka jumlah nilai-nilai $f(x)$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah:

Diketahui $f(x) = x + 1$. Kita substitusikan ke persamaan di atas:

Jadi, nilai dari $x_1 + x_2$ adalah $3$.

Pembahasan

Kita memiliki dua kelompok:

• Orang yang memelihara kambing: $K = 450$
• Orang yang memelihara ayam: $A = 300$
• Total penduduk: $S = 600$

Jumlah Maksimum yang Memelihara Keduanya

Jumlah maksimum orang yang memelihara kedua hewan adalah jumlah anggota dari kelompok yang lebih kecil. Ini terjadi jika seluruh anggota kelompok yang lebih kecil juga merupakan anggota kelompok yang lebih besar.

Jumlah Minimum yang Memelihara Keduanya

Jumlah minimum orang yang memelihara kedua hewan terjadi ketika penyebaran kedua kelompok seluas mungkin, sehingga irisannya sekecil mungkin. Rumusnya adalah:

Substitusikan nilai yang diketahui:

Total Jumlah Maksimum dan Minimum

Kita diminta mencari jumlah dari nilai maksimum dan minimum tersebut.

Jadi, jumlah dari banyak maksimum dan minimum orang yang memelihara kedua hewan adalah $450$.

Pembahasan

Kita akan menyusun sandi dengan pola Huruf - Angka - Huruf - Angka.

Misalkan slot untuk sandi tersebut adalah:

Diketahui himpunan yang tersedia:

• Huruf Vokal: $\{A, I, U, E, O\}$ ($5$ huruf).
• Angka Ganjil untuk $A_1$: $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ ($5$ angka).
• Angka Pilihan untuk $A_2$: $\{0, 1, 2, 4, 6\}$ ($5$ angka).

Aturan dan Batasan:

1. $H_1 \neq A$.
2. $H_2 = O$.
3. Tidak boleh ada pengulangan huruf maupun angka.

Karena $A_1$ harus ganjil dan $A_2$ dipilih dari himpunan tertentu, terdapat irisan pada angka $1$. Kita perlu membagi kasus berdasarkan nilai $A_2$.

Kasus 1 Jika Angka Kedua Adalah 1

Jika kita memilih angka $1$ untuk posisi $A_2$:

1. $H_2$ (Huruf kedua): Harus $O$ ($1$ cara).
2. $A_2$ (Angka kedua): Harus $1$ ($1$ cara).
3. $H_1$ (Huruf pertama): Vokal selain $A$ dan selain $O$ (karena $O$ sudah dipakai di $H_2$).
   • Pilihan: $\{I, U, E\}$ ($3$ cara).
4. $A_1$ (Angka pertama): Angka ganjil selain $1$ (karena $1$ sudah dipakai di $A_2$).
   • Pilihan: $\{3, 5, 7, 9\}$ ($4$ cara).

Total cara untuk Kasus $1$:

Kasus 2 Jika Angka Kedua Bukan 1

Jika kita memilih angka selain $1$ untuk posisi $A_2$ (yaitu genap):

1. $H_2$ (Huruf kedua): Harus $O$ ($1$ cara).
2. $A_2$ (Angka kedua): Dipilih dari $\{0, 2, 4, 6\}$ ($4$ cara).
3. $H_1$ (Huruf pertama): Vokal selain $A$ dan selain $O$.
   • Pilihan: $\{I, U, E\}$ ($3$ cara).
4. $A_1$ (Angka pertama): Angka ganjil $\{1, 3, 5, 7, 9\}$. Karena $A_2$ adalah genap, tidak ada konflik. Semua angka ganjil bisa dipilih.
   • Pilihan: $5$ cara.

Total cara untuk Kasus $2$:

Total Kombinasi

Jumlahkan hasil dari kedua kasus tersebut:

Jadi, banyak sandi yang dapat dibentuk adalah $72$.

Pembahasan

Data terurut yang diberikan adalah $4, 4, a, b, c$. Karena data sudah terurut dan berjumlah ganjil ($5$ data), maka mediannya adalah data ke-$3$, yaitu $a$.

Diketahui data terbesar adalah $c$ dan nilainya $3$ kali median, sehingga:

Rata-rata kelima bilangan adalah $8$:

Substitusikan $c = 3a$ ke dalam persamaan:

Karena data terurut, maka berlaku $4 \le a \le b \le c$. Kita akan mencari batas nilai $a$.

Batas Atas Nilai a

Dari ketidaksamaan $a \le b$:

Batas Bawah Nilai a

Dari ketidaksamaan $b \le c$:

Perhatikan juga bahwa $a \ge 4$ (dari urutan data). Karena $4,57 > 4$, maka syarat terkuat adalah $a \ge 4,57$.

Kesimpulan

Rentang nilai $a$ adalah $4,57 \le a \le 6,4$.

Nilai $P$ adalah median ($a$) dan nilai $Q$ adalah $4$. Karena nilai minimum $a$ adalah $4,57$ yang lebih besar dari $4$, maka pasti $P > Q$.

Jadi, hubungan yang benar adalah $P > Q$.

Pembahasan

Kita akan menyederhanakan bentuk $P$ terlebih dahulu. Ingat bahwa $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Maka bentuk $4^x - 1$ adalah selisih kuadrat yang dapat difaktorkan menjadi $(2^x - 1)(2^x + 1)$.

Selanjutnya, kita perhatikan bentuk $Q$:

Kita bisa melihat hubungan antara $P$ dan $Q$ dengan mensubstitusi $P = 2^x + 1$ ke dalam persamaan $Q$:

Diketahui $0 < x < 1$. Kita analisis nilai $2^x$ pada rentang tersebut:

• Jika $x > 0$, maka $2^x > 2^0 \implies 2^x > 1$.
• Jika $x < 1$, maka $2^x < 2^1 \implies 2^x < 2$.

Sehingga, $1 < 2^x < 2$.

Kembali ke persamaan $P = Q \cdot 2^x$: Karena $2^x > 1$ dan $Q$ bernilai positif (karena $2^x > 0$), maka hasil kali $Q$ dengan bilangan yang lebih besar dari $1$ akan menghasilkan nilai yang lebih besar dari $Q$ itu sendiri.

Jadi, hubungan yang benar adalah $P > Q$.

Pembahasan

Diketahui aturan operasi:

Kita diminta mencari nilai dari:

Dengan membandingkan posisi variabel, kita dapatkan:

• $w = 2$
• $x = 3$
• $y = 4$
• $z = -2$

Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:

Jadi, nilai dari operasi tersebut adalah $14$.

Pembahasan

Kita diminta untuk menentukan besar sudut $\angle BPC$ pada segitiga sama kaki $ABC$ dengan $AC = BC$.

Analisis Pernyataan 1

Diketahui $\angle CAB = 40^\circ$. Karena $\triangle ABC$ sama kaki dengan $AC = BC$, maka sudut-sudut di alasnya sama besar:

Kita dapat menghitung besar sudut puncak $\angle ACB$:

Namun, informasi ini tidak memberikan keterangan mengenai posisi titik $P$ pada sisi $AB$. Titik $P$ bisa berada di mana saja sepanjang segmen $AB$. Akibatnya, besar $\angle BPC$ akan bervariasi tergantung pada posisi $P$. Oleh karena itu, pernyataan $(1)$ SAJA tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.

Analisis Pernyataan 2

Diketahui $PC$ merupakan garis bagi segitiga $ABC$. Dalam konteks ini, $PC$ adalah garis bagi sudut $C$ yang memotong sisi $AB$ di titik $P$.

Pada segitiga sama kaki dengan $AC = BC$, garis bagi yang ditarik dari titik puncak (sudut yang diapit oleh sisi-sisi yang sama panjang) ke sisi alas memiliki sifat-sifat khusus. Garis tersebut juga merupakan:

1. Garis tinggi (tegak lurus terhadap alas).
2. Garis berat (membagi alas menjadi dua bagian sama panjang).

Karena $PC$ adalah garis tinggi, maka $PC \perp AB$. Sehingga, besar sudut yang dibentuk adalah siku-siku:

Kita mendapatkan nilai pasti untuk $\angle BPC$. Oleh karena itu, pernyataan $(2)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan.

Kesimpulan

Pernyataan $(1)$ tidak cukup, sedangkan pernyataan $(2)$ cukup. Jadi, pernyataan $(2)$ SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan $(1)$ SAJA tidak cukup.

Pembahasan

Kita akan menganalisis setiap pernyataan satu per satu berdasarkan fungsi $f(x) = 5 - x$ dan $g(x) = 2^x - 1$.

Analisis Pernyataan 1

Pernyataan: $g(x)$ merupakan garis linear dengan gradien $2$.

Fungsi $g(x) = 2^x - 1$ adalah fungsi eksponensial, bukan fungsi linear. Fungsi linear memiliki bentuk umum $y = mx + c$, sedangkan ini adalah bentuk pangkat. Oleh karena itu, pernyataan $(1)$ salah.

Analisis Pernyataan 2

Pernyataan: $f(x)$ dan $g(x)$ berpotongan pada nilai $x > 0$.

Untuk mencari titik potong, kita samakan kedua fungsi:

Jika kita mensubstitusikan $x = 2$:

Kedua fungsi memiliki nilai yang sama yaitu $3$ pada saat $x = 2$. Karena $2 > 0$, maka pernyataan $(2)$ benar.

Analisis Pernyataan 3

Pernyataan: $f(x)$ berada di atas $g(x)$ untuk semua nilai $x$.

Mari kita cek nilai $x > 2$, misalnya $x = 3$:

Di sini terlihat bahwa $g(3) > f(3)$, yang berarti kurva $g(x)$ berada di atas $f(x)$. Oleh karena itu, pernyataan bahwa $f(x)$ selalu di atas $g(x)$ adalah tidak tepat. Pernyataan $(3)$ salah.