Soal 37

Diketahui balok $ABCD.EFGH$ dimana $AB = 6$ cm, $BC = 8$ cm, dan $BF = 4$ cm. Misalkan $\alpha$ adalah sudut antara $AH$ dan $BD$ , maka $\cos 2\alpha =$ ....

Pembahasan

Perhatikan ilustrasi balok berikut.

Balok

ABCD.EFGH

Visualisasi balok dengan dimensi yang diberikan dan garis-garis yang relevan untuk menghitung sudut.

Garis $AH$ dan $BD$ belum berpotongan, sehingga perlu digeser salah satunya agar mereka berpotongan, yaitu geser garis $AH$ ke garis $BG$ (karena $AH$ sejajar $BG$ ), sehingga sudutnya antara garis $BG$ dan $BD$ .

\alpha = \angle(AH, BD) = \angle(BG, BD)

Menentukan panjang segmen

Kemudian menentukan panjang $\triangle BDG$

BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10

DG = \sqrt{CD^2 + CG^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}

BG = \sqrt{CB^2 + CG^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}

Gunakan aturan cosinus

Gunakan aturan cosinus pada $\triangle BDG$

\cos \angle DBG = \frac{BD^2 + BG^2 - DG^2}{2 \cdot BD \cdot BG}

\cos \alpha = \frac{10^2 + (4\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{13})^2}{2(10)(4\sqrt{5})}

\cos \alpha = \frac{100 + 80 - 52}{80\sqrt{5}}

\cos \alpha = \frac{128}{80\sqrt{5}}

\cos \alpha = \frac{8}{5\sqrt{5}}

Maka nilai dari $\cos 2\alpha$ dapat dihitung menggunakan rumus sudut ganda

\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1

\cos 2\alpha = 2\left(\frac{8}{5\sqrt{5}}\right)^2 - 1

\cos 2\alpha = 2\left(\frac{64}{125}\right) - 1

\cos 2\alpha = \frac{128}{125} - \frac{125}{125}

\cos 2\alpha = \frac{3}{125}

Jadi, nilai dari $\cos 2\alpha$ adalah $\frac{3}{125}$ .

Command Palette

Nomor 37

Pembahasan

Menentukan panjang segmen

Gunakan aturan cosinus