Soal 36

Jika sudut $A$ dan $B$ memenuhi sistem persamaan

2 \tan A + \tan B = 4

\tan A - 3 \tan B = -\frac{17}{2}

Maka $\tan(2A + B)$ sama dengan....

Pembahasan

Ingatlah konsep trigonometri untuk penjumlahan sudut

\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}

\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}

Selesaikan sistem persamaan

Dapatkan persamaan pertama dengan mengubah bentuk untuk mencari $\tan B$ .

2 \tan A + \tan B = 4 \rightarrow \tan B = 4 - 2 \tan A

Kemudian substitusi ke persamaan kedua

\tan A - 3 \tan B = -\frac{17}{2}

\tan A - 3(4 - 2 \tan A) = -\frac{17}{2}

\tan A - 12 + 6 \tan A = -\frac{17}{2}

7 \tan A = -\frac{17}{2} + 12

7 \tan A = \frac{7}{2}

\tan A = \frac{1}{2}

Dengan begitu nilai $\tan B = 4 - 2 \tan A = 4 - 2\left(\frac{1}{2}\right) = 3$ .

Menentukan nilai tan 2A

\tan(2A) = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}

\tan(2A) = \frac{2\left(\frac{1}{2}\right)}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}

\tan(2A) = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}

Menentukan nilai tan(2A + B)

\tan(2A + B) = \frac{\tan 2A + \tan B}{1 - \tan 2A \cdot \tan B}

\tan(2A + B) = \frac{\frac{4}{3} + 3}{1 - \frac{4}{3}(3)}

\tan(2A + B) = \frac{\frac{13}{3}}{1 - 4}

\tan(2A + B) = \frac{\frac{13}{3}}{-3}

\tan(2A + B) = -\frac{13}{9}

Jadi, nilai dari $\tan(2A + B)$ adalah $-\frac{13}{9}$ .