Soal 39

Jika $\begin{bmatrix} \tan x & 1 \\ 1 & \tan x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos^2 x \\ \sin x \cos x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \frac{1}{2}$ dimana $b = 2a$ , maka $0 \leq x \leq \pi$ yang memenuhi adalah....

$\frac{\pi}{6}$
$\frac{\pi}{12}$
$\frac{5\pi}{6}$
$\frac{5\pi}{12}$

$(1), (2), (3)$ SAJA yang benar

$(1)$ dan $(3)$ SAJA yang benar

$(2)$ dan $(4)$ SAJA yang benar

$(4)$ SAJA yang benar

SEMUA pernyataan benar

Pembahasan

Diketahui matriks

\begin{bmatrix} \tan x & 1 \\ 1 & \tan x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos^2 x \\ \sin x \cos x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}

Kalikan matriks

Ini merupakan perkalian matriks, sehingga

\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tan x \cdot \cos^2 x + \sin x \cdot \cos x \\ \cos^2 x + \tan x \cdot \sin x \cos x \end{bmatrix}

Ubah $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , menjadi

\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot \cos^2 x + \sin x \cdot \cos x \\ \cos^2 x + \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot \sin x \cos x \end{bmatrix}

Sederhanakan menjadi

\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin x \cdot \cos x + \sin x \cdot \cos x \\ \cos^2 x + \sin^2 x \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \sin x \cdot \cos x \\ \sin^2 x + \cos^2 x \end{bmatrix}

Kita tahu bahwa nilai $2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x$ dan nilai $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , maka

\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin 2x \\ 1 \end{bmatrix}

Jadi, nilai $a = \sin 2x$ dan $b = 1$ .

Substitusi ke kondisi yang diberikan

Substitusi $b = 1$ ke $b = 2a$ sehingga dapat $a = \frac{1}{2}$ .

Kemudian, substitusi $a = \frac{1}{2}$ ke $a = \sin 2x$ sehingga dapat $\sin 2x = \frac{1}{2}$ .

Nilai $2x$ yang memenuhi adalah

2x_1 = \frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \quad \text{atau} \quad 2x_2 = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi

x_1 = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{atau} \quad x_2 = \frac{5\pi}{12} + k\pi

Nilai $x$ yang mememnuhi adalah $\frac{\pi}{12}$ atau $\frac{5\pi}{12}$ .

Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan kedua dan keempat.

Command Palette

Nomor 39

Pembahasan

Kalikan matriks

Substitusi ke kondisi yang diberikan