Soal 5

Diberikan garis lurus melalui $(0, -2)$ dan $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$ . Jarak parabola $y = x^2 - 1$ ke garis tersebut adalah....

Membuat persamaan garis dari titik yang dilaluinya yaitu $(0, -2)$ dan $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$

\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}

\frac{y - (-2)}{0 - (-2)} = \frac{x - 0}{\frac{3}{2} - 0}

\frac{y + 2}{2} = \frac{2x}{3}

3y + 6 = 4x

-4x + 3y + 6 = 0

Gak bisa langsung mencari jarak titik ke garis. Cari titik yang posisinya terdekat dari garis. Anggap aja titiknya $(a, b)$ sehingga

y = x^2 - 1

b = a^2 - 1

Titik tersebut menjadi $(a, a^2 - 1)$ seperti pada ilustrasi berikut

Visualisasi Parabola dan Garis

Grafik menunjukkan parabola

y = x^2 - 1

dan garis

-4x + 3y + 6 = 0

dengan titik terdekat

\left(\frac{2}{3}, -\frac{5}{9}\right)

Kita perlu menentukan jarak dari titik $(a, a^2 - 1)$ ke garis $-4x + 3y + 6 = 0$

jarak = \frac{|-4x + 3y + 6|}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2}}

f(a) = \frac{|-4a + 3(a^2 - 1) + 6|}{5}

f(a) = \frac{|3a^2 - 4a + 3|}{5}

f(a) = \frac{1}{5}(3a^2 - 4a + 3)

Syarat nilai minimum adalah $f'(x) = 0$

f'(a) = \frac{1}{5}(6a - 4)

f'(a) = 0

\frac{1}{5}(6a - 4) = 0

6a = 4

a = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Jarak garis dan parabola saat $a = \frac{2}{3}$

f(a) = \frac{1}{5}(3a^2 - 4a + 3)

f(a) = \frac{1}{5}\left(3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 3\right)

f(a) = \frac{1}{5}\left(\frac{4}{3} - \frac{8}{3} + \frac{9}{3}\right)

f(a) = \frac{1}{5}\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{1}{3}

Command Palette