Diketahui suku banyak f(x) dibagi x2+x−2 bersisa ax+b dan dibagi x2−4x+3 bersisa 2bx+a−1. Jika f(−2)=7, maka a2+b2 = ....
Pembahasan
Suku banyak pertama memiliki pembagi x2+x−2. Faktorkan pembaginya
x2+x−2=(x−1)(x+2)⇒x=1 atau x=−2
Sisanya adalah s(x)=ax+b.
Saat x=1
f(1)=s(1)
f(1)=a(1)+b
f(1)=a+b…(1)
Saat x=−2
f(−2)=s(−2)
f(−2)=a(−2)+b
f(−2)=−2a+b…(2)
Suku banyak kedua memiliki pembagi x2−4x+3. Faktorkan pembaginya
x2−4x+3=(x−1)(x−3)⇒x=1 atau x=3
Sisanya adalah s(x)=2bx+a−1.
Saat x=1
f(1)=s(1)
f(1)=2b(1)+a−1
f(1)=a+2b−1…(3)
Saat x=3
f(3)=s(3)
f(3)=2b(3)+a−1
f(3)=6b+a−1…(4)
Dari persamaan (1) dan (3) akan didapat
f(1)=f(1)
a+b=a+2b−1
b=1
Dari persamaan (2) dan diketahui f(−2)=7, maka
f(−2)=7
−2a+b=7…(5)
Substitusikan b=1 ke persamaan (5)
−2a+1=7
−2a=6
a=−3
Sehingga nilai dari
a2+b2=(−3)2+(1)2=9+1=10