Soal 30

Kedua akar persamaan kuadrat $(m + 2)x^2 - (2m - 1)x + m + 1 = 0$ bertanda negatif. Batas nilai $m$ yang memenuhi adalah....

$m < -2 \text{ atau } m > -1$

$-2 < m < -1$

$-2 < m < -\frac{1}{2}$

$-2 < m \leq -\frac{7}{16}$

$-1 < m \leq -\frac{7}{16}$

Diketahui persamaan kuadrat $(m + 2)x^2 - (2m - 1)x + m + 1 = 0$ dengan syarat harus $x_1 < 0$ dan $x_2 < 0$ .

Agar persamaan tersebut merupakan persamaan kuadrat, maka koefisien $x^2$ tidak boleh nol, yaitu $m + 2 \neq 0$ atau $m \neq -2$ .

Syarat diskriminan adalah $D \geq 0$ , maka diperoleh

D = b^2 - 4ac \geq 0

[-(2m - 1)]^2 - 4(m + 2)(m + 1) \geq 0

(2m - 1)^2 - 4(m + 2)(m + 1) \geq 0

4m^2 - 4m + 1 - 4(m^2 + 3m + 2) \geq 0

4m^2 - 4m + 1 - 4m^2 - 12m - 8 \geq 0

-16m - 7 \geq 0

-16m \geq 7

m \leq -\frac{7}{16}

Syarat penjumlahan akar-akar: $x_1 + x_2 < 0$

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-(2m - 1)}{m + 2} = \frac{2m - 1}{m + 2}

\frac{2m - 1}{m + 2} < 0

Pertidaksamaan $\frac{2m - 1}{m + 2} < 0$ terpenuhi jika pembilang dan penyebut berbeda tanda. Maka

(2m - 1)(m + 2) < 0

Pertidaksamaan ini terpenuhi untuk $-2 < m < \frac{1}{2}$ .

Syarat perkalian akar-akar: $x_1x_2 > 0$

x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m + 1}{m + 2}

\frac{m + 1}{m + 2} > 0

Pertidaksamaan $\frac{m + 1}{m + 2} > 0$ terpenuhi jika pembilang dan penyebut sama tanda. Maka

(m + 1)(m + 2) > 0

Pertidaksamaan ini terpenuhi untuk $m < -2$ atau $m > -1$ .

Sekarang kita gabungkan semua syarat:

Irisan dari semua syarat tersebut adalah $-1 < m \leq -\frac{7}{16}$ .

Jadi, nilai $m$ yang memenuhi adalah $-1 < m \leq -\frac{7}{16}$ .

Command Palette