Aturan Cramer adalah metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan determinan. Metode ini memberikan cara langsung untuk menghitung solusi sistem persamaan linear ketika matriks koefisiennya dapat dibalik.
Metode ini sangat berguna untuk memahami hubungan antara determinan dan solusi sistem linear, meskipun secara komputasi kurang efisien dibandingkan eliminasi Gauss untuk sistem besar.
Sekarang kita dapat merumuskan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.
Misalkan A∈Rn×n adalah matriks yang dapat dibalik dan a1,a2,…,an∈Rn adalah kolom-kolom dari A. Untuk vektor b∈Rn, solusi x∈Rn dari sistem persamaan linear A⋅x=b diberikan oleh:
xj=detAdet(a1…aj−1baj+1…an)
untuk j=1,2,…,n.
Untuk menghitung komponen ke-j dari solusi x, kita mengganti kolom ke-j dari matriks A dengan vektor b, kemudian menghitung determinan matriks yang dimodifikasi ini dan membaginya dengan determinan matriks A asli.
Jika A∈Zn×n adalah matriks yang dapat dibalik dengan elemen bilangan bulat dan b∈Zn adalah vektor dengan elemen bilangan bulat, maka elemen-elemen dari invers A−1 dan solusi x dari sistem A⋅x=b adalah bilangan rasional dengan penyebut yang (jika tidak disingkat) sama dengan ∣detA∣.
Hal ini terjadi karena dalam perhitungan determinan hanya dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, sehingga determinan matriks bilangan bulat selalu bilangan bulat. Dalam formula invers dan aturan Cramer, satu-satunya operasi pembagian adalah pembagian dengan detA.
