Aturan Cramer

Penyelesaian Sistem Linear

Aturan Cramer menyelesaikan sistem linear langsung dari determinan ketika matriks koefisiennya dapat dibalik.

Aturan ini menyatakan setiap komponen solusi sebagai $perbandingan dua determinan$ . Untuk sistem besar, eliminasi Gauss membutuhkan jauh lebih sedikit perhitungan.

Matriks Adjoin

$Matriks adjoin$ menghubungkan determinan dengan rumus invers dan aturan Cramer.

Di sini adjoin berarti $adjugat$ , yaitu transpos matriks kofaktor. Adjugat berbeda dari transpos konjugat pada matriks kompleks.

Untuk matriks $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ , matriks adjoin didefinisikan sebagai:

\tilde{A} = (\tilde{a}_{ij})_{i=1,\ldots,n \atop j=1,\ldots,n} \in \mathbb{R}^{n \times n}

Setiap elemen matriks adjoin diberikan oleh

\tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det A_{ji}

Di sini, $A_{ji}$ adalah submatriks yang diperoleh dengan menghapus baris $j$ dan kolom $i$ dari $A$ . Indeksnya bertukar karena kofaktor menempati posisi yang ditranspos dalam matriks adjoin.

Matriks adjoin $\tilde{A}$ memuat $kofaktor$ dari $A$ pada posisi yang ditranspos.

Struktur Matriks Adjoin

Tuliskan setiap determinan minor sebagai $c_{ij}$ . Tanda berselang-seling dan $indeks yang ditranspos$ tetap terlihat pada adjugat utuh:

c_{ij}=\det A_{ij}

Setiap elemen dihitung dengan mengambil determinan submatriks yang sesuai, kemudian diberikan tanda berdasarkan pola papan catur $(-1)^{i+j}$ .

Identitas Matriks Adjoin

Matriks adjoin memenuhi $identitas berikut$ dengan matriks asal:

\begin{aligned} &A \cdot \tilde{A} \\ &= \tilde{A} \cdot A \\ &= \begin{pmatrix} \det A & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \det A & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \det A \end{pmatrix} \end{aligned}

Dengan kata lain:

A \cdot \tilde{A} = (\det A) \cdot I

Entri diagonal hasil kali berasal dari $ekspansi Laplace pada baris yang sama$ dan bernilai determinan. Entri di luar diagonal memakai baris yang berbeda. Ekspansi itu setara dengan determinan matriks dengan dua baris sama, sehingga bernilai nol.

Formula Invers Matriks

Dari identitas tersebut, kita dapat menurunkan $rumus invers matriks$ menggunakan matriks adjoin.

Jika matriks $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ dapat dibalik, maka:

A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \tilde{A}

Namun perhitungan invers matriks menggunakan rumus ini jauh kurang efisien daripada eliminasi Gauss untuk matriks berukuran besar.

Contoh untuk Matriks Ordo Dua

Untuk matriks $2\times2$ :

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

Determinannya adalah:

\det A = a \cdot d - b \cdot c

Matriks adjoinnya adalah:

\tilde{A} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Sehingga inversnya adalah:

A^{-1} = \frac{1}{a \cdot d - b \cdot c} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Hitung setiap entri $matriks pembilang$ :

\begin{aligned} &m_{11}=a\cdot d-b\cdot c \\ &m_{12}=-a\cdot b+a\cdot b \\ &m_{21}=c\cdot d-c\cdot d \\ &m_{22}=-c\cdot b+a\cdot d \end{aligned}

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Determinan

Misalkan $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ adalah matriks yang dapat dibalik dan $a^1, a^2, \ldots, a^n \in \mathbb{R}^n$ adalah kolom-kolom dari $A$ . Untuk vektor $b \in \mathbb{R}^n$ , solusi $x \in \mathbb{R}^n$ dari sistem persamaan linear $A \cdot x = b$ diberikan oleh:

Tuliskan $A_j(b)$ untuk matriks yang kolom ke- $j$ diganti dengan $b$ :

A_j(b)=(a^1\;\ldots\;a^{j-1}\;b\;a^{j+1}\;\ldots\;a^n)

Rumus Cramer tersebut berlaku untuk $j = 1, 2, \ldots, n$ .

Untuk menghitung komponen ke- $j$ dari solusi $x$ , kita $mengganti kolom$ ke- $j$ dari matriks $A$ dengan vektor $b$ , kemudian menghitung determinan matriks yang dimodifikasi ini dan membaginya dengan determinan matriks $A$ asli.

Membuktikan Rumus Solusinya

Bukti aturan Cramer menggunakan $ekspansi Laplace$ dan identitas matriks adjoin.

Untuk $j = 1, \ldots, n$ :

\begin{aligned} x_j &= (A^{-1} \cdot b)_j \\ &= \sum_{i=1}^{n} (A^{-1})_{ji} \cdot b_i \\ &= \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\det A} \cdot \tilde{a}_{ji} \cdot b_i \end{aligned}

= \frac{1}{\det A} \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot \det A_{ij} \cdot b_i

Kesamaan terakhir mengikuti pengembangan Laplace terhadap kolom ke- $j$ .

Menyelesaikan Sistem Tiga Variabel dengan Determinan

Selesaikan sistem berikut dengan mengganti $satu kolom$ $A$ pada setiap perhitungan:

\begin{aligned} &A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \\ &b = \begin{pmatrix} 20 \\ 40 \\ 30 \end{pmatrix} \end{aligned}

Hitung determinan matriks $A$ .

\begin{aligned} \det A &= 1 \cdot ((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) \\ &\quad{}- 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) \\ &\quad{}+ (-1) \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) \\ &=-4 \end{aligned}

Hasil perhitungan adalah $\det A=-4$ , jadi determinannya tidak nol. Matriks $A$ dapat dibalik dan sistem memiliki solusi unik. Karena itu, kita dapat menggunakan aturan Cramer:

\begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 20 & 1 & -1 \\ 40 & -1 & 1 \\ 30 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{-120}{-4} \\ &= 30 \end{aligned}

\begin{aligned} x_2 &= \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 20 & -1 \\ 1 & 40 & 1 \\ -1 & 30 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{-100}{-4} \\ &= 25 \end{aligned}

\begin{aligned} x_3 &= \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 20 \\ 1 & -1 & 40 \\ -1 & 1 & 30 \end{pmatrix} \\ &= \frac{-140}{-4} \\ &= 35 \end{aligned}

Ketiga determinan pembilang dapat diperiksa dengan ekspansi baris pertama. Lalu substitusikan solusi ke setiap persamaan asal.

\det A_1(b)=-40-10-70=-120

Sifat Solusi untuk Matriks Integer

Jika $A \in \mathbb{Z}^{n \times n}$ dapat dibalik dan $b \in \mathbb{Z}^n$ , maka entri $A^{-1}$ dan solusi $x$ dari $A \cdot x = b$ merupakan $bilangan rasional$ . Sebelum disederhanakan, semuanya dapat ditulis dengan penyebut bersama $|\det A|$ . Karena itu, setiap penyebut yang telah disederhanakan membagi $|\det A|$ .

Penyebut tersebut muncul karena perhitungan determinan hanya memakai penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, sehingga determinan matriks bilangan bulat tetap berupa bilangan bulat. Dalam formula invers dan aturan Cramer, satu-satunya pembagian dilakukan dengan $\det A$ .