Ruang Vektor Kompleks

Isi Sebuah Bilangan Kompleks

Unit imajiner $i$ memenuhi $i^2=-1$ . Sebuah bilangan kompleks menggabungkan koordinat real dan imajiner, sehingga satu skalar dapat menyatakan penskalaan sekaligus rotasi.

Himpunan bilangan kompleks didefinisikan sebagai $\mathbb{C} := \{z = x + iy : x, y \in \mathbb{R}\}$ . Dalam setiap bilangan kompleks $z = x + iy$ , bagian $x = \text{Re}(z)$ disebut $bagian real$ dan bagian $y = \text{Im}(z)$ disebut $bagian imajiner$ .

Penjumlahan, pengurangan, perkalian, serta pembagian dengan bilangan tak nol tetap menghasilkan bilangan di dalam $\mathbb C$ . Dengan operasi tersebut, $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ membentuk $medan bilangan kompleks$ . Medan bilangan adalah himpunan bilangan yang dapat dipakai sebagai skalar dan memenuhi aturan operasi tersebut.

Konjugat dan Modulus

Untuk $z=x+iy$ , $konjugat kompleksnya$ adalah $\overline z=x-iy$ . Karena $z\overline z=x^2+y^2$ , konjugasi dapat dipakai untuk menghitung besar dan invers, misalnya $z^{-1}=\overline z/|z|^2$ ketika $z\neq0$ .

$Modulus$ atau nilai mutlak dari bilangan kompleks dihitung dengan rumus:

|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}} = \sqrt{x^2 + y^2}

Modulus ini memberikan "jarak" bilangan kompleks dari titik asal dalam bidang kompleks.

Untuk $z=3+4i$ , konjugasi mengubah tanda koordinat imajiner tanpa mengubah jarak dari nol. Ikuti dua ruas garis pada diagram.

\overline z=3-4i

Konjugasi Mencerminkan terhadap Sumbu Real

Koordinat horizontal adalah bagian real. Koordinat vertikal adalah bagian imajiner. Titik

3+4i

dan

3-4i

memiliki jarak yang sama dari nol.

$x$: $[0; 3]$
$y$: $[-4; 4]$

Teorema Fundamental Aljabar

Teorema fundamental aljabar menyatakan bahwa setiap polinom tidak konstan dengan koefisien kompleks memiliki akar kompleks.

Misalkan $p$ adalah polinom tak konstan dengan masukan kompleks $z$ . Notasi $z\in\mathbb{C}$ berarti bahwa $z$ dapat berupa bilangan kompleks apa pun. Bentuk polinomnya adalah:

\begin{aligned} p(z) &= a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots \\ &\quad{}+ a_1 z + a_0 \end{aligned}

Jika $n \geq 1$ dan koefisien kompleks $a_k \in \mathbb{C}$ untuk $k = 0, 1, \ldots, n$ memenuhi $a_n \neq 0$ , polinom $p$ memiliki setidaknya satu akar kompleks. Artinya, ada bilangan $z_* \in \mathbb{C}$ yang memenuhi $p(z_*) = 0$ .

Penerapan teorema secara berulang menunjukkan bahwa polinom berderajat $n$ dapat difaktorkan sepenuhnya di dalam $\mathbb C$ :

p(z)=a_n\prod_{j=1}^n(z-z_j)

Jadi, polinom tersebut memiliki tepat $n$ akar kompleks jika $multiplisitas dihitung$ . Syarat "tidak konstan" penting: polinom konstanta tak nol tidak memiliki akar.

Definisi dan Aksioma Ruang Vektor Kompleks

Ruang vektor kompleks memakai bilangan dari $\mathbb C$ sebagai skalar. Kedua operasinya harus tertutup pada himpunan yang dinyatakan dan mematuhi aturan kesesuaian aljabar yang sama seperti ruang vektor real.

Operasi penjumlahan pada himpunan $V$ didefinisikan sebagai

+ : V \times V \to V : (x, y) \mapsto x + y

Perkalian skalar pada himpunan $V$ didefinisikan sebagai

\cdot : \mathbb{C} \times V \to V : (\lambda, x) \mapsto \lambda \cdot x

Himpunan $V$ dengan kedua operasi tersebut disebut $ruang vektor kompleks$ jika memenuhi aksioma berikut:

Aksioma Penjumlahan Vektor

Empat aksioma berikut menguji operasi penjumlahan saja, jadi setiap butir menyebut sifat yang harus dipenuhi penjumlahan untuk setiap pilihan vektor di $V$ .

$Asosiatif$ : $(x + y) + z = x + (y + z)$ untuk semua $x, y, z \in V$
$Komutatif$ : $x + y = y + x$ untuk semua $x, y \in V$
$Elemen Netral$ : Terdapat elemen $0 \in V$ sehingga $x + 0 = x = 0 + x$ untuk semua $x \in V$
$Elemen Invers$ : Untuk setiap $x \in V$ terdapat elemen $-x \in V$ sehingga $x + (-x) = 0 = (-x) + x$

Aksioma Perkalian Skalar

Dua aksioma berikut membahas perkalian dengan skalar kompleks, jadi masing-masing menjaga peran skalar dan vektor tetap terpisah.

$Asosiatif perkalian$ : $(\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu \cdot x)$ untuk semua $\lambda, \mu \in \mathbb{C}, x \in V$
$Elemen satuan$ : $1 \cdot x = x$ untuk semua $x \in V$

Aksioma Distributif

Dua aksioma distributif menghubungkan penjumlahan dengan perkalian skalar, sehingga kamu boleh memecah jumlah sebelum atau sesudah dikalikan skalar. Tanpa keduanya, perkalian skalar hanya bekerja pada satu vektor dan tidak sejalan dengan penjumlahan vektor.

$Distributif terhadap penjumlahan vektor$ : $\lambda \cdot (x + y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$ untuk semua $\lambda \in \mathbb{C}, x, y \in V$
$Distributif terhadap penjumlahan skalar$ : $(\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$ untuk semua $\lambda, \mu \in \mathbb{C}, x \in V$

Elemen-elemen $x \in V$ disebut $vektor$ , sementara elemen-elemen $\lambda \in \mathbb{C}$ disebut $skalar$ .

Perkalian Skalar Kompleks dalam Dua Dimensi

Himpunan $V=\mathbb C^2$ adalah ruang vektor kompleks dengan operasi per komponen. Sebagai contoh,

\begin{aligned} (1+i)\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}(1+i)\cdot1\\(1+i)(-i)\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}1+i\\-i-i^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+i\\1-i\end{pmatrix} \end{aligned}

$Medan skalar mengubah cara kita menghitung dimensi$ . Himpunan $\mathbb C$ memiliki basis $\{1\}$ sebagai ruang vektor kompleks, tetapi basis $\{1,i\}$ sebagai ruang vektor real:

Himpunan vektor yang sama	Skalar yang diperbolehkan	Dimensi
$\mathbb C$	$\mathbb C$	$1$
$\mathbb C$	$\mathbb R$	$2$

Perbedaan dengan Ruang Vektor Real

Hasil aljabar yang hanya memakai aksioma ruang vektor berlaku pada $\mathbb R$ maupun $\mathbb C$ . Hasil yang memakai urutan bilangan atau hasil kali dalam pada bilangan real perlu menyesuaikan asumsinya. Sebagai contoh, hasil kali dalam pada bilangan kompleks memerlukan konjugasi. Bilangan kompleks juga tidak memiliki urutan medan yang cocok dengan aritmetikanya.

$Medan skalar$ juga menentukan apakah suatu pemetaan bersifat linear. Konjugasi kompleks bersifat linear terhadap $\mathbb R$ . Namun, terhadap $\mathbb C$ , persamaan $\overline{iz}=-i\overline z$ menunjukkan bahwa konjugasi kompleks tidak bersifat linear. Karena itu, pembahasan basis, dimensi, atau pemetaan linear perlu menyebut medan skalar yang dipakai.