Definisi Determinan

Makna Geometris Determinan

Determinan matriks persegi mengukur $faktor perubahan volume berorientasi$ dari transformasi linearnya. Nilai mutlaknya memberi faktor volume, sedangkan tandanya menunjukkan apakah orientasi dipertahankan atau dibalik.

Setiap matriks persegi memiliki satu determinan. Determinan nol berarti hasil transformasi berada dalam himpunan berdimensi lebih rendah. Karena itu, transformasi tidak memiliki invers.

Determinan adalah fungsi khusus yang mengambil matriks persegi dan menghasilkan satu bilangan real:

\det : \mathbb{R}^{n \times n} \to \mathbb{R} : A \mapsto \det A

Tanda dan nilai determinan memberi tiga kemungkinan berikut:

Determinan	Efek geometris	Dapat Dibalik
$\det A>0$	Mengalikan volume dengan $\lvert\det A\rvert$ dan mempertahankan orientasi	Dapat dibalik
$\det A<0$	Mengalikan volume dengan $\lvert\det A\rvert$ dan membalik orientasi	Dapat dibalik
$\det A=0$	Mengubah volume menjadi nol dan menghasilkan himpunan berdimensi lebih rendah	Tidak dapat dibalik

Kubus satuan berwarna hijau kebiruan berubah menjadi bangun jingga melalui matriks berikut. Sisi miring menunjukkan geseran, tetapi volume dihitung dari $panjang alas dan tinggi tegak lurus$ .

A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad \det A=2\cdot1\cdot1=2

Volume kubus setelah peregangan dan geseran

Kubus satuan hijau kebiruan dan bangun jingga memakai titik asal yang sama. Putar model untuk melihat tinggi tegak lurus dan sisi miringnya.

$x$: $[0; 3]$
$y$: $[0; 1]$
$z$: $[0; 1]$
Garis: 24

Panjang alas berubah menjadi 2, sedangkan kedua tinggi tetap 1. Jadi, volumenya berubah dari 1 menjadi 2. Panjang sisi miring bukan tinggi tegak lurus.

Tiga Sifat Penentu Determinan

Hanya ada satu fungsi determinan yang memenuhi $tiga sifat berikut$ . Setiap sifat menetapkan satu perilaku fungsi itu: reaksinya terhadap operasi baris, hasilnya ketika dua baris sama, dan nilai yang harus dikembalikan matriks identitas. Ketiganya bersama-sama menentukan determinan secara lengkap.

Sifat Linear pada Setiap Baris

Determinan bersifat $linear pada setiap baris ketika baris lain tetap$ . Sifat ini disebut multilinearitas.

Ketika kita menjumlahkan dua vektor dalam satu baris:

\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_i + a_i' \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} &= \det \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_i \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ \det \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_i' \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \end{aligned}

Ketika kita mengalikan satu baris dengan skalar:

\det \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ \lambda \cdot a_i \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}

Sifat Berselang

Determinan bersifat $berselang-seling$ : jika dua baris sama, nilainya nol.

\det \begin{pmatrix} \vdots \\ a \\ \vdots \\ a \\ \vdots \end{pmatrix} = 0

Secara ekuivalen, pertukaran dua baris membalik tanda determinan. Dua baris yang sama tidak berubah ketika ditukar, tetapi determinannya juga harus berganti tanda, sehingga satu-satunya nilai yang mungkin adalah nol.

Sifat Normalisasi

Determinan $dinormalisasi$ sehingga determinan matriks identitas selalu bernilai $1$ :

\det I = 1

Di sini $I$ adalah matriks identitas dengan ukuran yang sesuai. Multilinearitas, sifat berselang-seling, dan normalisasi ini $menentukan determinan secara tunggal$ .

Operasi Matriks dan Determinan

Jika $seluruh matriks$ dikalikan dengan skalar $\lambda$ , determinannya menjadi $\lambda^n$ kali determinan semula.

\det(\lambda A) = \lambda^n \cdot \det A

Hal ini terjadi karena masing-masing dari $n$ baris dikalikan dengan $\lambda$ .

Ketika kita menukar dua baris matriks, determinan berubah tanda:

\det B = -\det A

Penambahan kelipatan satu baris ke baris lain yang berbeda tidak mengubah determinan:

\det \begin{pmatrix} \vdots \\ a_j \\ \vdots \\ a_i + \lambda a_j \\ \vdots \end{pmatrix}

Syarat Matriks Dapat Dibalik

Determinan menentukan apakah matriks persegi $A$ dapat dibalik. Kondisi berikut ekuivalen:

$Matriks A dapat dibalik$
$Terdapat matriks invers$ $A^{-1}$ yang memenuhi $AA^{-1} = I$
$Matriks berperingkat penuh$ : $\operatorname{rank}(A) = n$
$Kernel hanya berisi nol$ : $\ker(A) = \{0\}$
$Kolom-kolom linear independen$
$Baris-baris linear independen$
$Determinan tidak nol$ : $\det A \neq 0$

Jika determinan nol, transformasi memetakan ruang ke himpunan berdimensi lebih rendah, sehingga transformasi tidak dapat dibalik.

Jika baris-barisnya bergantung linear, satu baris merupakan kombinasi linear baris lain. Multilinearitas menguraikan determinan menjadi suku-suku dengan baris berulang, dan setiap suku tersebut nol karena sifat berselang-seling.

Sifat Perkalian dan Matriks Serupa

Determinan hasil kali dua matriks sama dengan hasil kali determinan masing-masing matriks:

\det(AB) = \det A \cdot \det B

Jika matriks $A$ dapat dibalik, determinan inversnya adalah:

\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}

Dua matriks $A$ dan $B$ disebut $serupa$ jika ada matriks dapat diinversi $S$ sehingga:

B = S^{-1}AS

Sifat perkalian determinan membuktikan bahwa matriks yang serupa memiliki determinan yang sama.

\det B = \det(S^{-1}AS)

Jika eliminasi Gauss hanya memakai penambahan baris dan $p$ pertukaran baris, determinan matriks segitiga atas hasil $R$ adalah

\det R = (-1)^p \cdot \det A

Jika suatu baris juga diskalakan, faktor skalanya harus dicatat terpisah. Dengan jenis operasi yang dinyatakan secara jelas, proses membentuk matriks segitiga memberikan algoritma determinan yang praktis.

Kesalahan Umum tentang Determinan

Determinan $tidak aditif secara umum$ . Identitas penjumlahan determinan gagal pada contoh berikut.

Sebagai contoh sederhana:

\det\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)

Namun, jika kedua determinan dihitung terpisah, hasilnya:

\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Karena $4 \neq 2$ , determinan tidak aditif terhadap penjumlahan matriks.