For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Untuk matriks positif definit, ada sifat khusus yang membuat dekomposisi menjadi lebih sederhana. Dekomposisi LU dapat dilakukan tanpa menggunakan matriks permutasi karena eliminasi Gauss dapat berjalan tanpa pertukaran baris, dan semua elemen pivot yang dihasilkan dijamin positif.
Hal ini berarti kita memperoleh faktorisasi dalam bentuk , di mana elemen diagonal dari adalah elemen pivot yang positif untuk semua indeks diagonal.
Karena , kita juga memiliki:
di mana adalah matriks yang diagonal utamanya dinormalisasi menjadi , dan adalah matriks diagonal:
Karena dekomposisi LU tanpa adalah unik, maka:
Jika kita mendefinisikan:
maka .
Matriks positif definit memungkinkan adanya dekomposisi Cholesky:
dengan adalah matriks segitiga bawah reguler. Matriks ini dapat dihitung menggunakan algoritma Cholesky.
Perhitungan matriks dilakukan dengan:
berdasarkan hubungan . Algoritma berikut menghasilkan faktor Cholesky.
Diberikan matriks positif definit .
Untuk :
untuk .
Setelah menjalankan algoritma ini, kita akan mendapatkan faktor Cholesky yang merupakan matriks segitiga bawah:
Algoritma Cholesky untuk menghitung faktor Cholesky dari memerlukan:
operasi aritmetika.
Hal ini merupakan setengah dari jumlah operasi yang diperlukan untuk menghitung dekomposisi LU, karena penggunaan simetri memungkinkan kita melakukan perhitungan tanpa pertukaran baris dalam urutan yang berbeda.
