Matriks Kompleks

Entri Matriks Berupa Bilangan Kompleks

Matriks kompleks mengikuti aturan baris, kolom, penjumlahan, dan perkalian yang sama seperti matriks real. Perbedaannya adalah setiap entri dapat memiliki bagian real sekaligus bagian imajiner.

Matriks kompleks dengan $m \in \mathbb{N}$ baris dan $n \in \mathbb{N}$ kolom dapat ditulis sebagai

\begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \\ &= (a_{ij})_{\substack{i=1,\ldots,m \\ j=1,\ldots,n}} \end{aligned}

Setiap $koefisien$ $a_{ij} \in \mathbb{C}$ memiliki indeks $i = 1, \ldots, m$ dan $j = 1, \ldots, n$ . Himpunan semua matriks kompleks $m \times n$ ditulis sebagai $\mathbb{C}^{m \times n}$ .

Sebagai contoh, entri seperti $2+3i$ dan $-1-4i$ merupakan anggota $\mathbb C$ . Panjang dan sudut pada ruang kompleks dihitung dengan konjugasi. Karena itu, transpose biasa tidak cukup untuk perhitungan geometris pada ruang tersebut.

Matriks Adjoint

Untuk matriks kompleks, padanan geometris transpose adalah $adjoint$ , yang juga disebut transpose konjugat. Operasi ini menukar baris dengan kolom, lalu $mengambil konjugat kompleks setiap entri$ .

Misalkan $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ adalah matriks kompleks $m \times n$ . $Matriks adjoint$ (matriks konjugat transpose) $A^H$ dari $A$ adalah matriks kompleks $n \times m$ yang diperoleh dengan menukar baris dan kolom dari $A$ dan mengambil konjugat kompleks dari setiap entri:

\begin{aligned} A^H &= \overline{A^T} \\ &= \overline{A}^T \\ &= \begin{pmatrix} \overline{a_{11}} & \cdots & \overline{a_{m1}} \\ \vdots & & \vdots \\ \overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{mn}} \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{n \times m} \end{aligned}

Sebagai contoh,

A=\begin{pmatrix}1+i&2\\-i&3-2i\end{pmatrix}

Jadi, entri pada baris $j$ dan kolom $i$ dari $A^H$ adalah $\overline{a_{ij}}$ .

Sifat Matriks Adjoint

Adjoint $membalik urutan faktor dalam hasil kali$ dan mengonjugasi skalar. Ukuran matriks pada penjumlahan dan perkalian berikut harus sesuai.

Aturan	Identitas	Alasan
Entri real	$A^H=A^T$	Konjugasi tidak mengubah entri real.
Adjoint dua kali	$(A^H)^H=A$	Transpose dan konjugasi masing-masing dibatalkan.
Penjumlahan	$(A+B)^H=A^H+B^H$	Konjugasi distributif terhadap penjumlahan.
Perkalian skalar	$(\lambda A)^H=\overline\lambda A^H$	Skalar dikonjugasi bersama setiap entri.
Hasil kali	$(AB)^H=B^HA^H$	Transpose membalik urutan pasangan baris dan kolom.

Untuk matriks satu entri $A=(1+i)$ , bandingkan konjugat $iA$ dengan hasil kali $i$ dan konjugat $A$ :

(iA)^H=\overline{-1+i}=-1-i

Norma Euclidean pada Ruang Kompleks

Untuk $v,w\in\mathbb C^n$ , produk skalar Hermitian standar adalah

\langle v,w\rangle=v^Hw=\sum_{i=1}^n\overline{v_i}w_i

Konjugasi pada argumen pertama memastikan bahwa produk skalar suatu vektor dengan dirinya sendiri bernilai real dan tidak negatif.

Untuk $v \in \mathbb{C}^n$ , kita definisikan:

v^H v = \sum_{i=1}^n \overline{v_i} v_i = \sum_{i=1}^n |v_i|^2 \in \mathbb{R}_{\geq0}

$Norma Euclidean$ dihitung sebagai:

\|v\|_2 = \sqrt{v^H v}

Untuk $v=(1+i,2-i)^T$ , hitung norma Hermitian sebagai berikut:

\begin{aligned} v^Hv &=|1+i|^2+|2-i|^2 \\ &=2+5 \\ &=7 \end{aligned}

Inilah alasan $v^Tv$ keliru jika dipakai dalam ruang kompleks: tanpa konjugasi, hasilnya tidak harus real atau positif.

Sifat Norma Euclidean

$Homogenitas$ : $\|\alpha v\|_2 = |\alpha| \|v\|_2$

$Definit positif$ : $\|v\|_2 \geq 0$ dan $\|v\|_2 = 0 \Leftrightarrow v = 0$

$Ketidaksamaan segitiga$ : $\|v + w\|_2 \leq \|v\|_2 + \|w\|_2$

Sifat-sifat ini menunjukkan bahwa $\|\cdot\|_2$ memenuhi definisi norma. Penggunaan adjoint pada produk skalar Hermitian menjaga panjang, ortogonalitas, dan proyeksi kompleks tetap konsisten dengan padanannya pada ruang real.