For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Untuk mencari nilai eigen suatu matriks, kita memerlukan alat matematika yang sangat penting dalam aljabar linear. Bayangkan kita ingin mencari semua nilai yang membuat matriks menjadi singular (tidak dapat diinversi).
Misalkan . Kita dapat membentuk fungsi khusus:
Fungsi ini adalah polinomial berderajat dalam , yang kita sebut polinomial karakteristik dari .
dengan koefisien .
Faktanya, benar-benar merupakan polinomial berderajat untuk setiap matriks .
Misalkan adalah matriks persegi. Jejak dari adalah jumlah dari elemen-elemen diagonal:
Jejak matriks memiliki hubungan erat dengan koefisien polinomial karakteristik.
Dalam polinomial karakteristik dari , koefisien-koefisiennya memiliki makna khusus:
Ini berarti:
Konsep paling penting dari polinomial karakteristik adalah hubungannya dengan nilai eigen.
Sekarang, mari kita lihat hubungan yang sangat penting: adalah nilai eigen dari jika dan hanya jika .
Dengan kata lain, nilai eigen adalah akar-akar dari polinomial karakteristik.
Persamaan untuk :
kita sebut persamaan karakteristik dari .
Sekarang, bagaimana jika sebuah nilai eigen muncul beberapa kali sebagai akar polinomial karakteristik? Misalkan dan . Multiplisitas dari akar dari polinomial karakteristik disebut multiplisitas aljabar dari nilai eigen dari . Kita katakan adalah nilai eigen dengan multiplisitas dari .
Untuk setiap nilai eigen , berlaku:
Salah satu hasil penting dalam teori nilai eigen adalah hubungan antara multiplisitas geometrik dan aljabar.
Untuk setiap matriks dan , kita memiliki hubungan yang menarik:
Multiplisitas geometrik setiap nilai eigen selalu lebih kecil atau sama dengan multiplisitas aljabarnya.
Mengapa ini terjadi? Hal ini dapat dijelaskan dengan menggunakan transformasi basis dan bentuk blok Jordan.
Setelah memahami konsep-konsep dasar, mari kita lihat bagaimana menerapkannya dalam contoh konkret perhitungan polinomial karakteristik:
Misalkan . Polinomial karakteristik dari adalah:
Untuk , hanya memiliki akar dengan multiplisitas aljabar .
Untuk , memiliki akar , , dan dengan multiplisitas aljabar masing-masing .
Polinomial karakteristik dari matriks adalah:
Matriks ini memiliki akar dengan multiplisitas aljabar . adalah satu-satunya nilai eigen dari . Kita telah menghitung bahwa .
Sekarang, mari kita jelajahi sesuatu yang menarik: bagaimana polinomial karakteristik bekerja pada transformasi geometrik yang sering kita temui di :
Rotasi dengan memiliki polinomial karakteristik:
Ini memiliki akar real jika dan hanya jika , yaitu , sehingga atau .
Refleksi pada sumbu dengan memiliki polinomial karakteristik:
Nilai eigen adalah dan dengan .
Peregangan dengan memiliki polinomial karakteristik:
Nilai eigen adalah dengan .
Geseran dengan dengan memiliki polinomial karakteristik:
Nilai eigen adalah dengan .
Matriks-matriks serupa memiliki sifat yang sangat menarik: mereka memiliki polinomial karakteristik yang sama, dan karena itu memiliki nilai eigen yang sama, jejak yang sama, dan determinan yang sama.
Mari kita lihat mengapa hal ini benar. Misalkan dapat diinversi dan . Maka:
Sekarang, bagaimana dengan vektor eigen dari matriks serupa? Misalkan adalah matriks serupa dengan dan matriks invertible . Jika adalah nilai eigen dari dan , dan adalah vektor eigen dari untuk nilai eigen , maka adalah vektor eigen dari untuk nilai eigen .
Mari kita lihat mengapa ini benar. Misalkan dan . Maka:
Ini menunjukkan bahwa transformasi keserupaan tidak hanya mempertahankan nilai eigen, tetapi juga memberikan cara sistematis untuk mengubah vektor eigen.
