Polinomial Karakteristik

Menurunkan Polinomial dari Persamaan Matriks

Sebuah nilai eigen $\lambda$ dari matriks persegi $A$ memiliki vektor eigen tak nol $v$ yang memenuhi

Av=\lambda v

Dengan menyusun ulang persamaan, kita memperoleh $(A-\lambda I)v=0$ . Solusi tak nol ada tepat ketika $A-\lambda I$ singular, sehingga $determinannya harus nol$ . Polinom karakteristik mencatat syarat ini untuk semua skalar yang mungkin sekaligus.

Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ . Kita dapat membentuk fungsi khusus:

\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I)

Polinom berderajat $n$ dalam $t$ dengan koefisien $a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{K}$ ini disebut $polinom karakteristik$ dari $A$ . Polinom karakteristik ditulis dengan konvensi $\det(A-tI)$ . Konvensi $\det(tI-A)$ juga sering digunakan. Kedua polinom hanya berbeda dengan faktor $(-1)^n$ , sehingga akar kedua polinom tetap sama.

Jejak Matriks dan Koefisien Polinomial

Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ adalah matriks persegi. $Jejak$ dari $A$ adalah jumlah dari elemen-elemen diagonal:

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}

Jejak matriks memiliki hubungan erat dengan koefisien polinomial karakteristik.

Hubungan Koefisien dengan Jejak dan Determinan

Dalam polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ dari $A$ , koefisien-koefisiennya memiliki makna khusus:

\begin{aligned} &a_n = (-1)^n, \\ &a_{n-1} = (-1)^{n-1}\operatorname{tr}(A), \\ &a_0 = \det A \end{aligned}

Ini berarti:

Koefisien tertinggi selalu $(-1)^n$
Koefisien kedua tertinggi terkait dengan jejak matriks
$Suku konstanta$ adalah determinan matriks

Nilai Eigen sebagai Akar Polinomial

Nilai $\lambda \in \mathbb{K}$ merupakan nilai eigen dari $A$ jika dan hanya jika $\det(A - \lambda \cdot I) = 0$ .

Jadi, nilai eigen merupakan $akar dari polinomial karakteristik$ .

Untuk $t \in \mathbb{K}$ , perhatikan persamaan berikut.

\det(A - t \cdot I) = 0

Persamaan ini disebut $persamaan karakteristik$ dari $A$ .

Multiplisitas Aljabar

Sekarang, bagaimana jika sebuah nilai eigen muncul beberapa kali sebagai akar polinomial karakteristik? Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dan $\lambda \in \mathbb{K}$ . Multiplisitas dari akar $t = \lambda$ dari polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ disebut $multiplisitas aljabar$ $\mu_A(\lambda)$ dari nilai eigen $\lambda$ dari $A$ . Kita katakan $\lambda$ adalah nilai eigen dengan multiplisitas $\mu_A(\lambda)$ dari $A$ .

Batasan Multiplisitas

Untuk setiap nilai eigen $\lambda$ , $multiplisitas aljabarnya memenuhi$

1 \leq \mu_A(\lambda) \leq n

Hubungan Multiplisitas Geometrik dan Aljabar

Multiplisitas geometrik dan aljabar memenuhi batas berikut.

Untuk nilai eigen $\lambda$ dari $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ , multiplisitas geometrik dan aljabarnya memenuhi

1 \leq \dim \operatorname{Eig}_A(\lambda) \leq \mu_A(\lambda) \leq n

Multiplisitas geometrik setiap nilai eigen selalu lebih kecil atau sama dengan multiplisitas aljabarnya.

Multiplisitas geometrik $menghitung banyaknya vektor eigen bebas$ dalam ruang eigen, sedangkan multiplisitas aljabar menghitung berapa kali akar tersebut muncul dalam polinom karakteristik. Bentuk Jordan menunjukkan bahwa setiap vektor eigen bebas memerlukan setidaknya satu blok Jordan, sehingga jumlah geometrik tidak dapat melebihi jumlah aljabar.

Menghitung Polinomial Karakteristik

Definisi polinomial karakteristik sekarang dipakai pada matriks konkret, dan $hubungan antarkoefisien$ berfungsi sebagai pemeriksa hasil. Ikuti setiap langkah determinan, lalu bandingkan akar yang diperoleh dengan trace dan determinan untuk memastikan polinomialnya benar.

Matriks Orde Tiga

Matriks orde tiga ini menghasilkan polinomial karakteristik $berderajat tiga$ :

A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -4 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{3 \times 3}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 3-t & 2 & -1 \\ 1 & -t & -4 \\ 3 & 0 & 1-t \end{pmatrix}

Untuk $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , $\chi_A(t)$ hanya memiliki akar $\lambda_1 \approx -1{,}8003$ dengan multiplisitas aljabar $\mu_A(\lambda_1) = 1$ .

Untuk $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ , $\chi_A(t)$ memiliki akar $\lambda_1 \approx -1{,}8003$ , $\lambda_2 \approx 2{,}9001 + 2{,}4559i$ , dan $\lambda_3 \approx 2{,}9001 - 2{,}4559i$ dengan multiplisitas aljabar masing-masing $\mu_A(\lambda_1) = \mu_A(\lambda_2) = \mu_A(\lambda_3) = 1$ .

Akar tersebut lolos dua pemeriksaan berguna: jumlahnya sama dengan jejak matriks, sedangkan hasil kalinya sama dengan determinan.

\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=4=\operatorname{tr}(A)

Nilai Eigen Berulang pada Matriks Segitiga Atas

Matriks ini punya $dua entri diagonal yang sama$ , yaitu $1$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\begin{aligned} \chi_A(t) &= \det(A - t \cdot I) \\ &= \det \begin{pmatrix} 1-t & 2 \\ 0 & 1-t \end{pmatrix} \end{aligned}

Matriks ini memiliki akar $\lambda = 1$ dengan multiplisitas aljabar $\mu_A(1) = 2$ . $\lambda = 1$ adalah satu-satunya nilai eigen dari $A$ .

(A-I)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2y\\0\end{pmatrix}=0\iff y=0,\qquad E_A(1)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\}

Ruang eigen berdimensi $satu$ , meskipun akar polinomial muncul dua kali.

Polinomial Karakteristik Transformasi Geometrik

Perhitungan yang sama kini diterapkan pada pemetaan yang umum di $\mathbb{R}^2$ , sehingga hasil aljabar dan $makna geometrisnya$ muncul bersamaan. Rotasi, refleksi, peregangan, dan geseran masing-masing menghasilkan polinomial yang akarnya menjelaskan pengaruh pemetaan itu terhadap arah.

Rotasi

Rotasi dinyatakan oleh matriks:

A = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\begin{aligned} \chi_A(t) &= (\cos(\alpha) - t)^2 + \sin(\alpha)^2 \\ &= t^2 - 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot t + 1 \end{aligned}

$Diskriminannya$ adalah $-4\sin^2(\alpha)$ . Akarnya real tepat ketika $\sin(\alpha)=0$ , sehingga, dalam satu putaran penuh, $\alpha\equiv0$ atau $\alpha\equiv\pi\pmod{2\pi}$ .

Refleksi

Matriks $refleksi terhadap$ sumbu $x$ adalah:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = (1-t) \cdot (-1-t) = t^2 - 1

Nilai eigen adalah $\lambda_1 = 1$ dan $\lambda_2 = -1$ dengan $\mu_A(1) = \mu_A(-1) = 1$ .

Peregangan

$Matriks peregangan$ adalah:

A = \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = (s-t)^2 = t^2 - 2 \cdot s \cdot t + s^2

Nilai eigen adalah $\lambda = s$ dengan $\mu_A(s) = 2$ .

Geseran

$Untuk geseran$ dengan $s \neq 0$ , matriksnya adalah:

A = \begin{pmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = (1-t)^2 = t^2 - 2 \cdot t + 1

Nilai eigen adalah $\lambda = 1$ dengan $\mu_A(1) = 2$ .

Sifat Matriks Serupa

Matriks serupa menggambarkan $transformasi linear yang sama$ dalam basis berbeda. Karena itu, keduanya memiliki polinom karakteristik, nilai eigen, jejak, dan determinan yang sama.

Misalkan $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dapat diinversi dan $B = S^{-1} \cdot A \cdot S$ . Maka:

\begin{aligned} &\chi_B(t) \\ &= \det(B - t \cdot I) \\ &= \det(S^{-1} \cdot A \cdot S - t \cdot S^{-1} \cdot I \cdot S) \end{aligned}

Sifat Vektor Eigen Matriks Serupa

Vektor eigen berubah mengikuti basisnya. Jika $v \in \mathbb{K}^n$ adalah vektor eigen $A$ untuk $\lambda$ , maka $w = S^{-1}v$ adalah vektor eigen $B$ untuk nilai eigen yang sama.

Dengan menggunakan $Av=\lambda v$ dan $w=S^{-1}v$ , kita memperoleh

\begin{aligned} B \cdot w &= S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot S^{-1} \cdot v \\ &= S^{-1} \cdot A \cdot v \end{aligned}

Jadi, keserupaan mempertahankan nilai eigen, sedangkan $invers perubahan basis$ mengubah vektor eigen yang bersesuaian.

Menurunkan Polinomial dari Persamaan Matriks

Sebuah nilai eigen $\lambda$ dari matriks persegi $A$ memiliki vektor eigen tak nol $v$ yang memenuhi

Av=\lambda v

Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ . Kita dapat membentuk fungsi khusus:

\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I)

Jejak Matriks dan Koefisien Polinomial

Misalkan $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ adalah matriks persegi. $Jejak$ dari $A$ adalah jumlah dari elemen-elemen diagonal:

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}

Jejak matriks memiliki hubungan erat dengan koefisien polinomial karakteristik.

Hubungan Koefisien dengan Jejak dan Determinan

Dalam polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ dari $A$ , koefisien-koefisiennya memiliki makna khusus:

\begin{aligned} &a_n = (-1)^n, \\ &a_{n-1} = (-1)^{n-1}\operatorname{tr}(A), \\ &a_0 = \det A \end{aligned}

Ini berarti:

Koefisien tertinggi selalu $(-1)^n$
Koefisien kedua tertinggi terkait dengan jejak matriks
$Suku konstanta$ adalah determinan matriks

Nilai Eigen sebagai Akar Polinomial

Nilai $\lambda \in \mathbb{K}$ merupakan nilai eigen dari $A$ jika dan hanya jika $\det(A - \lambda \cdot I) = 0$ .

Jadi, nilai eigen merupakan $akar dari polinomial karakteristik$ .

Untuk $t \in \mathbb{K}$ , perhatikan persamaan berikut.

\det(A - t \cdot I) = 0

Persamaan ini disebut $persamaan karakteristik$ dari $A$ .

Multiplisitas Aljabar

Batasan Multiplisitas

Untuk setiap nilai eigen $\lambda$ , $multiplisitas aljabarnya memenuhi$

1 \leq \mu_A(\lambda) \leq n

Hubungan Multiplisitas Geometrik dan Aljabar

Multiplisitas geometrik dan aljabar memenuhi batas berikut.

Untuk nilai eigen $\lambda$ dari $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ , multiplisitas geometrik dan aljabarnya memenuhi

1 \leq \dim \operatorname{Eig}_A(\lambda) \leq \mu_A(\lambda) \leq n

Multiplisitas geometrik setiap nilai eigen selalu lebih kecil atau sama dengan multiplisitas aljabarnya.

Menghitung Polinomial Karakteristik

Matriks Orde Tiga

Matriks orde tiga ini menghasilkan polinomial karakteristik $berderajat tiga$ :

A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -4 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{3 \times 3}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 3-t & 2 & -1 \\ 1 & -t & -4 \\ 3 & 0 & 1-t \end{pmatrix}

Untuk $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ , $\chi_A(t)$ hanya memiliki akar $\lambda_1 \approx -1{,}8003$ dengan multiplisitas aljabar $\mu_A(\lambda_1) = 1$ .

Akar tersebut lolos dua pemeriksaan berguna: jumlahnya sama dengan jejak matriks, sedangkan hasil kalinya sama dengan determinan.

\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=4=\operatorname{tr}(A)

Nilai Eigen Berulang pada Matriks Segitiga Atas

Matriks ini punya $dua entri diagonal yang sama$ , yaitu $1$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\begin{aligned} \chi_A(t) &= \det(A - t \cdot I) \\ &= \det \begin{pmatrix} 1-t & 2 \\ 0 & 1-t \end{pmatrix} \end{aligned}

Matriks ini memiliki akar $\lambda = 1$ dengan multiplisitas aljabar $\mu_A(1) = 2$ . $\lambda = 1$ adalah satu-satunya nilai eigen dari $A$ .

(A-I)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2y\\0\end{pmatrix}=0\iff y=0,\qquad E_A(1)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\}

Ruang eigen berdimensi $satu$ , meskipun akar polinomial muncul dua kali.

Polinomial Karakteristik Transformasi Geometrik

Rotasi

Rotasi dinyatakan oleh matriks:

A = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\begin{aligned} \chi_A(t) &= (\cos(\alpha) - t)^2 + \sin(\alpha)^2 \\ &= t^2 - 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot t + 1 \end{aligned}

$Diskriminannya$ adalah $-4\sin^2(\alpha)$ . Akarnya real tepat ketika $\sin(\alpha)=0$ , sehingga, dalam satu putaran penuh, $\alpha\equiv0$ atau $\alpha\equiv\pi\pmod{2\pi}$ .

Refleksi

Matriks $refleksi terhadap$ sumbu $x$ adalah:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = (1-t) \cdot (-1-t) = t^2 - 1

Nilai eigen adalah $\lambda_1 = 1$ dan $\lambda_2 = -1$ dengan $\mu_A(1) = \mu_A(-1) = 1$ .

Peregangan

$Matriks peregangan$ adalah:

A = \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = (s-t)^2 = t^2 - 2 \cdot s \cdot t + s^2

Nilai eigen adalah $\lambda = s$ dengan $\mu_A(s) = 2$ .

Geseran

$Untuk geseran$ dengan $s \neq 0$ , matriksnya adalah:

A = \begin{pmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Polinomial karakteristiknya adalah:

\chi_A(t) = (1-t)^2 = t^2 - 2 \cdot t + 1

Nilai eigen adalah $\lambda = 1$ dengan $\mu_A(1) = 2$ .

Sifat Matriks Serupa

Matriks serupa menggambarkan $transformasi linear yang sama$ dalam basis berbeda. Karena itu, keduanya memiliki polinom karakteristik, nilai eigen, jejak, dan determinan yang sama.

Misalkan $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dapat diinversi dan $B = S^{-1} \cdot A \cdot S$ . Maka:

\begin{aligned} &\chi_B(t) \\ &= \det(B - t \cdot I) \\ &= \det(S^{-1} \cdot A \cdot S - t \cdot S^{-1} \cdot I \cdot S) \end{aligned}

Sifat Vektor Eigen Matriks Serupa

Vektor eigen berubah mengikuti basisnya. Jika $v \in \mathbb{K}^n$ adalah vektor eigen $A$ untuk $\lambda$ , maka $w = S^{-1}v$ adalah vektor eigen $B$ untuk nilai eigen yang sama.

Dengan menggunakan $Av=\lambda v$ dan $w=S^{-1}v$ , kita memperoleh

\begin{aligned} B \cdot w &= S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot S^{-1} \cdot v \\ &= S^{-1} \cdot A \cdot v \end{aligned}

Jadi, keserupaan mempertahankan nilai eigen, sedangkan $invers perubahan basis$ mengubah vektor eigen yang bersesuaian.