Perhitungan Determinan

Memilih Metode Berdasarkan Ukuran Matriks

Definisi determinan menghasilkan beberapa cara perhitungan. $Rumus langsung$ cukup untuk matriks kecil. Pada matriks padat berukuran besar, eliminasi atau faktorisasi $\mathrm{LU}$ mengubah matriks menjadi bentuk segitiga dan menghindari pertumbuhan faktorial pada ekspansi kofaktor rekursif.

Kasus Dasar Matriks Ordo Satu

Untuk matriks berukuran $1 \times 1$ , determinan sangat sederhana. Jika $A \in \mathbb{R}^{1 \times 1}$ dengan $A = (a_{11})$ , maka:

\det A = a_{11}

Untuk matriks $1\times1$ , determinannya sama dengan $satu-satunya elemen$ matriks. Determinan matriks yang lebih besar dapat dihitung dengan mereduksinya ke kasus yang lebih kecil melalui ekspansi atau eliminasi.

Konsep Submatriks

Sebelum membahas metode ekspansi kofaktor, kita perlu memahami konsep $submatriks$ . Untuk matriks $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ dan indeks $i, j \in \{1, 2, \ldots, n\}$ , submatriks $A_{ij}$ adalah matriks berukuran $(n-1) \times (n-1)$ yang diperoleh dengan menghilangkan baris $i$ dan kolom $j$ dari matriks $A$ .

Lihat contoh untuk matriks $3 \times 3$ . Misalkan kita memiliki:

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

Untuk mendapatkan submatriks $A_{12}$ , kita menghilangkan baris ke- $1$ dan kolom ke- $2$ :

A_{12} = \begin{pmatrix} \cancel{a_{11}} & \cancel{a_{12}} & \cancel{a_{13}} \\ a_{21} & \cancel{a_{22}} & a_{23} \\ a_{31} & \cancel{a_{32}} & a_{33} \end{pmatrix}

Untuk submatriks $A_{23}$ , kita menghilangkan baris ke- $2$ dan kolom ke- $3$ :

A_{23} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cancel{a_{13}} \\ \cancel{a_{21}} & \cancel{a_{22}} & \cancel{a_{23}} \\ a_{31} & a_{32} & \cancel{a_{33}} \end{pmatrix}

Proses ini berlaku untuk semua kombinasi baris dan kolom yang dihilangkan.

Ekspansi Kofaktor

Ekspansi kofaktor menghitung determinan dari minor yang berukuran lebih kecil. Kita dapat mengembangkan determinan menurut sembarang baris tetap $i$ :

\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij}\det A_{ij}

Sebagai pilihan lain, kita dapat mengembangkan determinan menurut sembarang kolom tetap $j$ :

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij}\det A_{ij}

Suku $(-1)^{i+j}\det A_{ij}$ adalah $kofaktor$ dari $a_{ij}$ . Faktor $(-1)^{i+j}$ membentuk pola tanda selang-seling seperti papan catur. Memilih baris atau kolom yang memiliki banyak nol akan mengurangi jumlah minor yang perlu dihitung.

Ekspansi Kofaktor Matriks Ordo Tiga

Lihat contoh ekspansi kofaktor untuk matriks $3 \times 3$ :

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Kita pilih $baris pertama$ untuk ekspansi:

\begin{aligned} \det A &= 2 \cdot (-1)^{1+1} \det A_{11} \\ &\quad{}+ 1 \cdot (-1)^{1+2} \det A_{12} \\ &\quad{}+ 3 \cdot (-1)^{1+3} \det A_{13} \end{aligned}

Ekspansi dapat dilakukan pada baris atau kolom mana pun. Setiap entri nol membuat satu suku kofaktor bernilai nol, sehingga baris atau kolom dengan banyak nol menyisakan lebih sedikit suku untuk dihitung.

Matriks Segitiga dan Diagonal

Untuk beberapa jenis matriks khusus, perhitungan determinan menjadi sangat sederhana. Bentuk matriksnya menghapus hampir semua suku sebelum kamu melakukan ekspansi, sehingga pekerjaannya menyusut menjadi $satu perkalian$ . Mengenali bentuk matriks lebih dulu inilah yang menghemat langkah.

Untuk matriks segitiga atas $R$ :

R = \begin{pmatrix} r_{11} & * & \cdots & * \\ 0 & r_{22} & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & r_{nn} \end{pmatrix}

Determinannya adalah:

\det R = r_{11} \cdot r_{22} \cdot \ldots \cdot r_{nn}

Untuk matriks segitiga bawah $L$ :

L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ * & l_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ * & * & \cdots & l_{nn} \end{pmatrix}

Determinannya adalah:

\det L = l_{11} \cdot l_{22} \cdot \ldots \cdot l_{nn}

Untuk matriks diagonal $D$ :

D = \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{nn} \end{pmatrix}

Determinannya adalah:

\det D = d_{11} \cdot d_{22} \cdot \ldots \cdot d_{nn}

Pada ketiga jenis matriks ini, determinan sama dengan $perkalian semua elemen diagonal utama$ .

Matriks Elementer

Matriks elementer adalah matriks yang diperoleh dari matriks identitas dengan satu operasi baris elementer. Determinan matriks elementer memiliki nilai yang mudah dihitung:

$Matriks penskalaan baris$ $S_i(\lambda)$ , dengan $\lambda \neq 0$ , yang mengalikan baris ke- $i$ dengan $\lambda$ :

$\det S_i(\lambda) = \lambda$
$Matriks pertukaran baris$ $Q_i^j$ yang menukar baris ke- $i$ dan ke- $j$ :

$\det Q_i^j = -1$
$Matriks transveksi$ $P_i^j(\lambda)$ yang melakukan operasi $R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j$ :

$\det P_i^j(\lambda) = 1$

Untuk pertukaran dan transveksi, indeks menunjuk $dua baris yang berbeda$ , yaitu $i\neq j$ . Satu pertukaran baris mengubah tanda determinan, sedangkan penambahan kelipatan satu baris ke baris lain tidak mengubah determinan.

Eliminasi Gauss untuk Perhitungan Determinan

Eliminasi Gauss, atau faktorisasi $\mathrm{LU}$ yang setara, mengubah matriks padat menjadi $bentuk segitiga atas$ . Determinannya kemudian diperoleh dari elemen diagonal dan operasi baris yang dicatat.

Misalkan kita hanya menggunakan penjumlahan baris dan pertukaran baris untuk mengubah $A$ menjadi matriks segitiga atas $R$ . Jika ada $p$ pertukaran baris, maka:

\det A = (-1)^p \cdot \det R

Karena $R$ adalah matriks segitiga atas:

\det R = r_{11} \cdot r_{22} \cdot \ldots \cdot r_{nn}

Sehingga:

\det A = (-1)^p \cdot r_{11} \cdot r_{22} \cdot \ldots \cdot r_{nn}

Jika suatu algoritma mengalikan baris dengan faktor skala selama eliminasi, faktor tersebut juga harus dicatat dan dikeluarkan dari hasil akhir. Dalam komputasi numerik, pivoting parsial biasanya digunakan untuk menghindari pivot nol dan mengurangi pengaruh galat pembulatan.

Jumlah Operasi

Untuk matriks padat berukuran $n \times n$ , eliminasi atau faktorisasi $\mathrm{LU}$ memerlukan sekitar $\frac{2}{3}n^3 + O(n^2)$ operasi titik mengambang. Perkalian elemen diagonal yang dihasilkan hanya memerlukan tambahan kerja sebesar $O(n)$ . Ekspansi kofaktor rekursif yang naif dapat tumbuh seperti $O(n!)$ .

Untuk matriks besar yang tidak terstruktur, jumlah $operasi kubik$ pada eliminasi lebih rendah daripada pertumbuhan faktorial pada ekspansi kofaktor rekursif.

Menghitung Determinan Ordo Tiga dengan Eliminasi

Contoh berikut menghitung determinan dengan eliminasi Gauss:

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

$Langkah 1$ : Tukar baris $1$ dan $3$ untuk mendapatkan $pivot yang tidak nol$ :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}

$Langkah 2$ : Eliminasi kolom pertama dengan mengurangi $2$ kali baris $1$ dari baris $2$ :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}

$Langkah 3$ : Eliminasi kolom kedua dengan mengurangi $1{,}5$ kali baris $2$ dari baris $3$ :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} = R

Karena ada $satu pertukaran baris$ ( $p = 1$ ):

\det A = (-1)^1 \cdot \det R

Memilih Metode Berdasarkan Ukuran Matriks

Kasus Dasar Matriks Ordo Satu

Untuk matriks berukuran $1 \times 1$ , determinan sangat sederhana. Jika $A \in \mathbb{R}^{1 \times 1}$ dengan $A = (a_{11})$ , maka:

\det A = a_{11}

Konsep Submatriks

Lihat contoh untuk matriks $3 \times 3$ . Misalkan kita memiliki:

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

Untuk mendapatkan submatriks $A_{12}$ , kita menghilangkan baris ke- $1$ dan kolom ke- $2$ :

A_{12} = \begin{pmatrix} \cancel{a_{11}} & \cancel{a_{12}} & \cancel{a_{13}} \\ a_{21} & \cancel{a_{22}} & a_{23} \\ a_{31} & \cancel{a_{32}} & a_{33} \end{pmatrix}

Untuk submatriks $A_{23}$ , kita menghilangkan baris ke- $2$ dan kolom ke- $3$ :

A_{23} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cancel{a_{13}} \\ \cancel{a_{21}} & \cancel{a_{22}} & \cancel{a_{23}} \\ a_{31} & a_{32} & \cancel{a_{33}} \end{pmatrix}

Proses ini berlaku untuk semua kombinasi baris dan kolom yang dihilangkan.

Ekspansi Kofaktor

Ekspansi kofaktor menghitung determinan dari minor yang berukuran lebih kecil. Kita dapat mengembangkan determinan menurut sembarang baris tetap $i$ :

\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij}\det A_{ij}

Sebagai pilihan lain, kita dapat mengembangkan determinan menurut sembarang kolom tetap $j$ :

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij}\det A_{ij}

Ekspansi Kofaktor Matriks Ordo Tiga

Lihat contoh ekspansi kofaktor untuk matriks $3 \times 3$ :

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Kita pilih $baris pertama$ untuk ekspansi:

\begin{aligned} \det A &= 2 \cdot (-1)^{1+1} \det A_{11} \\ &\quad{}+ 1 \cdot (-1)^{1+2} \det A_{12} \\ &\quad{}+ 3 \cdot (-1)^{1+3} \det A_{13} \end{aligned}

Matriks Segitiga dan Diagonal

Untuk matriks segitiga atas $R$ :

R = \begin{pmatrix} r_{11} & * & \cdots & * \\ 0 & r_{22} & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & r_{nn} \end{pmatrix}

Determinannya adalah:

\det R = r_{11} \cdot r_{22} \cdot \ldots \cdot r_{nn}

Untuk matriks segitiga bawah $L$ :

L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ * & l_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ * & * & \cdots & l_{nn} \end{pmatrix}

Determinannya adalah:

\det L = l_{11} \cdot l_{22} \cdot \ldots \cdot l_{nn}

Untuk matriks diagonal $D$ :

D = \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{nn} \end{pmatrix}

Determinannya adalah:

\det D = d_{11} \cdot d_{22} \cdot \ldots \cdot d_{nn}

Pada ketiga jenis matriks ini, determinan sama dengan $perkalian semua elemen diagonal utama$ .

Matriks Elementer

Matriks elementer adalah matriks yang diperoleh dari matriks identitas dengan satu operasi baris elementer. Determinan matriks elementer memiliki nilai yang mudah dihitung:

$Matriks penskalaan baris$ $S_i(\lambda)$ , dengan $\lambda \neq 0$ , yang mengalikan baris ke- $i$ dengan $\lambda$ :

$\det S_i(\lambda) = \lambda$
$Matriks pertukaran baris$ $Q_i^j$ yang menukar baris ke- $i$ dan ke- $j$ :

$\det Q_i^j = -1$
$Matriks transveksi$ $P_i^j(\lambda)$ yang melakukan operasi $R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j$ :

$\det P_i^j(\lambda) = 1$

Eliminasi Gauss untuk Perhitungan Determinan

Misalkan kita hanya menggunakan penjumlahan baris dan pertukaran baris untuk mengubah $A$ menjadi matriks segitiga atas $R$ . Jika ada $p$ pertukaran baris, maka:

\det A = (-1)^p \cdot \det R

Karena $R$ adalah matriks segitiga atas:

\det R = r_{11} \cdot r_{22} \cdot \ldots \cdot r_{nn}

Sehingga:

\det A = (-1)^p \cdot r_{11} \cdot r_{22} \cdot \ldots \cdot r_{nn}

Jumlah Operasi

Untuk matriks besar yang tidak terstruktur, jumlah $operasi kubik$ pada eliminasi lebih rendah daripada pertumbuhan faktorial pada ekspansi kofaktor rekursif.

Menghitung Determinan Ordo Tiga dengan Eliminasi

Contoh berikut menghitung determinan dengan eliminasi Gauss:

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

$Langkah 1$ : Tukar baris $1$ dan $3$ untuk mendapatkan $pivot yang tidak nol$ :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}

$Langkah 2$ : Eliminasi kolom pertama dengan mengurangi $2$ kali baris $1$ dari baris $2$ :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}

$Langkah 3$ : Eliminasi kolom kedua dengan mengurangi $1{,}5$ kali baris $2$ dari baris $3$ :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} = R

Karena ada $satu pertukaran baris$ ( $p = 1$ ):

\det A = (-1)^1 \cdot \det R