For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Setelah memahami konsep dasar determinan, kita perlu mengetahui cara menghitungnya secara praktis. Ada beberapa metode yang bisa digunakan tergantung pada bentuk matriks yang kita hadapi.
Untuk matriks berukuran kecil, kita bisa menggunakan rumus langsung. Namun untuk matriks yang lebih besar, kita memerlukan strategi yang lebih efisien.
Untuk matriks berukuran , determinan sangat sederhana. Jika dengan , maka:
Ini adalah kasus paling dasar yang menjadi fondasi untuk perhitungan determinan matriks yang lebih besar.
Sebelum membahas metode ekspansi kofaktor, kita perlu memahami konsep submatriks. Untuk matriks dan indeks , submatriks adalah matriks berukuran yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom dari matriks .
Mari kita lihat contoh untuk matriks . Misalkan kita memiliki:
Untuk mendapatkan submatriks , kita menghilangkan baris ke- dan kolom ke-:
Untuk submatriks , kita menghilangkan baris ke- dan kolom ke-:
Proses ini berlaku untuk semua kombinasi baris dan kolom yang dihilangkan.
Metode yang paling umum untuk menghitung determinan adalah ekspansi kofaktor. Untuk matriks dengan , determinan dapat dihitung menggunakan rumus:
untuk kolom yang tetap dan dipilih secara bebas.
Dalam rumus ini, istilah disebut kofaktor dari elemen . Tanda memberikan pola papan catur untuk menentukan tanda positif atau negatif.
Mari kita lihat contoh ekspansi kofaktor untuk matriks :
Kita pilih baris pertama untuk ekspansi:
Kita bisa melakukan ekspansi berdasarkan baris atau kolom mana pun. Biasanya kita memilih baris atau kolom yang memiliki banyak nol untuk mempermudah perhitungan.
Untuk beberapa jenis matriks khusus, perhitungan determinan menjadi sangat sederhana:
Untuk matriks segitiga atas :
Determinannya adalah:
Untuk matriks segitiga bawah :
Determinannya adalah:
Untuk matriks diagonal :
Determinannya adalah:
Pada ketiga jenis matriks ini, determinan sama dengan perkalian semua elemen diagonal utama.
Matriks elementer adalah matriks yang diperoleh dari matriks identitas dengan satu operasi baris elementer. Determinan matriks elementer memiliki nilai yang mudah dihitung:
Matriks skalar yang mengalikan baris ke-i dengan :
Matriks pertukaran yang menukar baris ke-i dan ke-j:
Matriks transveksi yang menambahkan kelipatan baris ke- ke baris ke-:
Perhatikan bahwa matriks pertukaran memiliki determinan , bukan seperti yang sering dikira. Tanda negatif muncul ketika kita melakukan operasi pertukaran baris pada matriks lain.
Salah satu metode paling efisien untuk menghitung determinan adalah menggunakan eliminasi Gauss. Prosesnya adalah mengubah matriks menjadi bentuk segitiga atas, lalu mengalikan elemen-elemen diagonal.
Ketika matriks ditransformasi menjadi bentuk segitiga atas melalui eliminasi Gauss, kita perlu menghitung berapa kali pertukaran baris dilakukan. Jika ada pertukaran baris, maka:
Karena adalah matriks segitiga atas:
Sehingga:
Eliminasi Gauss memiliki kompleksitas waktu , yang jauh lebih efisien dibandingkan ekspansi kofaktor yang memiliki kompleksitas .
Untuk matriks besar yang tidak terstruktur, eliminasi Gauss adalah metode yang paling praktis dan dapat diandalkan.
Mari kita lihat contoh perhitungan determinan menggunakan eliminasi Gauss:
Langkah : Tukar baris dan untuk mendapatkan pivot yang tidak nol:
Langkah : Eliminasi kolom pertama dengan mengurangi kali baris dari baris :
Langkah : Eliminasi kolom kedua dengan mengurangi kali baris dari baris :
Karena ada satu pertukaran baris ():
