For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Dalam teori matriks, kita sering mencari cara untuk menyederhanakan bentuk matriks agar lebih mudah dianalisis dan dihitung. Diagonalisasi adalah salah satu teknik untuk melakukan hal ini. Bayangkan seperti mengubah ruang yang rumit menjadi ruang yang lebih teratur di mana setiap dimensi tidak saling mengganggu.
Tujuan utama diagonalisasi adalah mencari basis khusus sehingga transformasi linear y=A⋅x dapat direpresentasikan melalui matriks diagonal B=S−1⋅A⋅S. Jika basis tersebut adalah basis ortonormal, maka matriks transformasi memiliki sifat .
Sebuah matriks A∈Kn×n disebut dapat didiagonalisasi jika matriks tersebut serupa dengan suatu matriks diagonal Λ∈Kn×n, yaitu jika terdapat matriks yang dapat dibalik S∈Kn×n sedemikian sehingga:
Kapan sebuah matriks A∈Kn×n bisa didiagonalisasi? Jawabannya adalah ketika kita bisa menemukan basis dari Kn yang seluruhnya terdiri dari vektor eigen v1,…,vn∈Kn dari A dengan nilai eigen yang berkaitan λ1,…,λn∈K.
Matriks diagonal Λ adalah:
dan S adalah matriks dengan kolom:
Jika A dapat didiagonalisasi, maka kolom v1,…,vn dari S membentuk basis vektor eigen. Dari Λ=S−1⋅A⋅S kita peroleh A⋅S=S⋅Λ dan dengan demikian A⋅vi=λi⋅vi untuk i=1,…,n.
Sebaliknya, jika v1,…,vn adalah basis vektor eigen, maka S dapat dibalik dan dari A⋅vi=λi⋅vi untuk i=1,…,n kita peroleh A⋅S=S⋅Λ dan dengan demikian Λ=S−1⋅A⋅S.
Matriks ini memiliki nilai eigen λ=1 dengan multiplisitas aljabar μA(1)=2. Ruang eigen adalah kernel (ruang nol) dari A−1⋅I, yaitu himpunan semua vektor yang dipetakan ke vektor nol oleh matriks tersebut:
Di sini rentang dari vektor (10) adalah himpunan semua kelipatan skalar dari vektor tersebut, yang memiliki dimensi 1. Karena tidak ada nilai eigen dan vektor eigen lain, dan tidak terdapat basis K2 dari vektor eigen A, maka A tidak dapat didiagonalisasi.
Jika matriks A∈Kn×n dapat didiagonalisasi, maka polinomial karakteristik χA(t) dari A dalam K terurai menjadi faktor linear:
dimana A memiliki n nilai eigen yang tidak perlu berbeda λi∈K.
Ketika semua nilai eigen berbeda, prosesnya menjadi lebih sederhana. Jika A∈Kn×n dan polinomial karakteristik χA(t) dari A dalam K terurai menjadi faktor linear:
dengan nilai eigen yang berbeda secara berpasangan λi=λj untuk i=j dengan i,j∈{1,…,n}, maka A pasti dapat didiagonalisasi.
Mengapa begitu? Karena vektor eigen untuk nilai eigen yang berbeda secara berpasangan dari A selalu bebas linear dan membentuk basis dari Kn.
Tapi bagaimana kalau A memiliki nilai eigen berulang? Kita harus lebih hati-hati mengeceknya. Nilai eigen memiliki multiplisitas aljabar μA(λi) dan multiplisitas geometris dimEigA(λi) dengan hubungan:
Untuk matriks A∈Kn×n, pernyataan berikut adalah ekuivalen:
-
A dapat didiagonalisasi.
-
Kedua kondisi berikut terpenuhi. Pertama, polinomial karakteristik dari A harus terurai dalam faktor linear:
dengan nilai eigen yang berbeda secara berpasangan λ1,…,λk∈K dari A. Kedua, untuk semua nilai eigen dari A, multiplisitas aljabar harus sama dengan multiplisitas geometris:
-
Penjumlahan langsung semua ruang eigen adalah seluruh ruang vektor:
Untuk setiap i=1,…,k, misalkan v1(i),…,vdi(i) adalah basis vektor eigen dari A untuk ruang eigen EigA(λi). Maka:
adalah basis dari Kn yang terdiri dari vektor eigen A. Oleh karena itu, A dapat didiagonalisasi.
Ini berarti terdapat basis dari Kn yang terdiri dari vektor eigen A.
