Diagonalisasi Matriks

Basis yang Memisahkan Arah Koordinat

Diagonalisasi menuliskan ulang transformasi linear dalam $basis vektor eigen$ . Dalam basis ini, setiap koordinat dikalikan dengan nilai eigennya tanpa dicampur dengan koordinat lain.

Tujuan utamanya adalah mencari basis yang membuat transformasi linear $y = A \cdot x$ direpresentasikan oleh matriks diagonal $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$ . Jika basis eigen dapat dipilih ortonormal, maka $S^{-1} = S^T$ pada kasus real dan $S^{-1} = S^H$ pada kasus kompleks.

Definisi Diagonalisasi

Sebuah matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ disebut $dapat didiagonalisasi$ jika matriks tersebut serupa dengan suatu matriks diagonal $\Lambda \in \mathbb{K}^{n \times n}$ , yaitu jika terdapat matriks yang dapat dibalik $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ sedemikian sehingga:

\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S

Secara ekuivalen, $A = S\Lambda S^{-1}$ . Penerapan berulang kemudian memiliki bentuk:

Untuk setiap bilangan bulat taknegatif $m$ :

A^m = S\Lambda^m S^{-1}

Karena $\Lambda^m$ diperoleh dengan memangkatkan setiap elemen diagonal dengan $m$ , diagonalisasi mengubah persoalan perpangkatan matriks menjadi perhitungan skalar.

Kondisi Dasar Diagonalisasi

Kapan sebuah matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ bisa didiagonalisasi? Jawabannya adalah ketika kita bisa menemukan basis dari $\mathbb{K}^n$ yang seluruhnya terdiri dari vektor eigen $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{K}^n$ dari $A$ dengan nilai eigen yang berkaitan $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K}$ .

Matriks diagonal $\Lambda$ adalah:

\begin{aligned} \Lambda &= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} \\ &= \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \end{aligned}

Matriks $S$ memiliki vektor eigen sebagai kolom:

S = (v_1 \quad \ldots \quad v_n)

Jika $A$ dapat didiagonalisasi, maka kolom $v_1, \ldots, v_n$ dari $S$ membentuk $basis vektor eigen$ . Dari $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$ kita peroleh $A \cdot S = S \cdot \Lambda$ dan dengan demikian $A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$ untuk $i = 1, \ldots, n$ .

Sebaliknya, jika $v_1, \ldots, v_n$ adalah basis vektor eigen, maka $S$ dapat dibalik dan dari $A \cdot v_i = \lambda_i \cdot v_i$ untuk $i = 1, \ldots, n$ kita peroleh $A \cdot S = S \cdot \Lambda$ dan dengan demikian $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$ .

Matriks yang Tidak Dapat Didiagonalisasi

Perhatikan matriks:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriks ini memiliki nilai eigen $\lambda = 1$ dengan multiplisitas aljabar $\mu_A(1) = 2$ . Ruang eigennya adalah kernel dari $A - I$ :

E_A(1) = \ker(A - I)

Rentang yang ditulis di atas memuat semua kelipatan skalar vektor yang ditampilkan dan berdimensi $1$ . Jadi ruang eigen hanya menyediakan $satu vektor eigen independen$ , sedangkan basis $\mathbb{K}^2$ membutuhkan dua. Karena itu, $A$ tidak dapat didiagonalisasi.

Matriks	Multiplisitas aljabar 1	Dimensi ruang eigen	Dapat didiagonalisasi?
Identitas $I_2$	2	2	Ya
Matriks $A$ di atas	2	1	Tidak

Syarat Diagonalisasi Matriks

Jika matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dapat didiagonalisasi, maka polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ dari $A$ dalam $\mathbb{K}$ terurai menjadi faktor linear:

\chi_A(t) = (\lambda_1 - t) \cdots (\lambda_n - t)

Matriks $A$ memiliki $n$ nilai eigen $\lambda_i \in \mathbb{K}$ yang dihitung beserta multiplisitas dan tidak harus berbeda.

$Medan yang dipilih$ berpengaruh. Sebuah matriks real dapat gagal didiagonalisasi atas $\mathbb{R}$ , tetapi menjadi dapat didiagonalisasi atas $\mathbb{C}$ setelah polinomial karakteristiknya terurai di sana.

Nilai eigen yang semuanya berbeda membuat kita tidak perlu membandingkan multiplisitas aljabar dan geometris. Misalkan polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ dari $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ terurai dalam $\mathbb{K}$ sebagai berikut.

\chi_A(t) = (\lambda_1 - t) \cdots (\lambda_n - t)

Jika nilai eigennya berbeda secara berpasangan, yaitu $\lambda_i \neq \lambda_j$ untuk $i \neq j$ dengan $i, j \in \{1, \ldots, n\}$ , maka $A$ dapat didiagonalisasi.

Vektor eigen untuk nilai eigen yang berbeda secara berpasangan dari $A$ selalu bebas linear. Dengan $n$ nilai eigen seperti itu, vektor-vektor tersebut membentuk basis dari $\mathbb{K}^n$ .

Nilai eigen berulang memerlukan pemeriksaan tambahan. Setiap nilai eigen memiliki multiplisitas aljabar $\mu_A(\lambda_i)$ dan multiplisitas geometris $\dim E_A(\lambda_i)$ dengan hubungan:

\dim E_A(\lambda_i) \leq \mu_A(\lambda_i)

Teorema Karakterisasi Diagonalisasi

Untuk matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ , pernyataan berikut adalah ekuivalen:

$A$ dapat didiagonalisasi.
Kedua kondisi berikut terpenuhi. Pertama, polinomial karakteristik dari $A$ harus terurai dalam faktor linear:

$\begin{aligned} &\chi_A(t) \\ &=(\lambda_1-t)^{\mu_A(\lambda_1)}\cdots(\lambda_k-t)^{\mu_A(\lambda_k)} \end{aligned}$

dengan nilai eigen yang berbeda secara berpasangan $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$ dari $A$ . Kedua, untuk semua nilai eigen dari $A$ , $multiplisitas aljabar harus sama dengan multiplisitas geometris$ :

$\begin{aligned} &\mu_A(\lambda_i) = \dim E_A(\lambda_i) \\ &(i = 1, \ldots, k) \end{aligned}$
Penjumlahan langsung semua ruang eigen adalah seluruh ruang vektor:

$E_A(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus E_A(\lambda_k) = \mathbb{K}^n$

Ini berarti terdapat basis dari $\mathbb{K}^n$ yang terdiri dari vektor eigen $A$ .

Untuk setiap $i = 1, \ldots, k$ , misalkan $v_1^{(i)}, \ldots, v_{d_i}^{(i)}$ adalah basis ruang eigen $E_A(\lambda_i)$ . Maka:

\begin{aligned} &v_1^{(1)},\ldots,v_{d_1}^{(1)}, \\ &v_1^{(2)},\ldots,v_{d_2}^{(2)},\ldots, \\ &v_1^{(k)},\ldots,v_{d_k}^{(k)} \end{aligned}

Vektor-vektor tersebut membentuk basis $\mathbb{K}^n$ yang terdiri dari vektor eigen $A$ . Oleh karena itu, $A$ dapat didiagonalisasi.