Prosedur Dasar untuk Diagonalisasi

Mengganti Basis dengan Vektor Eigen

Diagonalisasi tidak mengubah transformasi linearnya. Basis koordinat diganti agar transformasi bekerja secara terpisah pada setiap arah vektor eigen. Dalam representasi diagonal, perkalian matriks cukup menskalakan setiap koordinat vektor eigen.

Untuk mendiagonalisasi matriks $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$, hitung nilai eigen dan ruang eigennya. Jika tersedia $n$ vektor eigen yang bebas linear, susun vektor tersebut menjadi matriks perubahan basis.

Langkah Diagonalisasi

Prosedur diagonalisasi terdiri dari tiga langkah berurutan:

1. Menghitung polinomial karakteristik untuk mencari semua nilai eigen $\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}$ beserta multiplisitas aljabarnya $\mu_A(\lambda_1), \ldots, \mu_A(\lambda_k)$.

   Atas medan yang dipilih $\mathbb{K}$, polinomial karakteristik $\chi_A(t)$ harus terurai sepenuhnya menjadi faktor linear:

   $$\chi_A(t) = \prod_{i=1}^k (\lambda_i - t)^{\mu_A(\lambda_i)}$$

   $$\sum_{i=1}^k \mu_A(\lambda_i) = n$$

   Jika polinomialnya tidak terurai, matriks tidak dapat didiagonalisasi atas medan tersebut.

2. Menghitung ruang eigen untuk setiap nilai eigen dengan menyelesaikan sistem persamaan linear homogen:

   $$(A - \lambda_i \cdot I) \cdot v = 0$$

   Di sini kita mencari setiap vektor yang dipetakan matriks $A$ menjadi kelipatan skalar dirinya sendiri. Nilai eigen $\lambda_i$ adalah faktor pengalinya. Jika $\lambda_i$ negatif, hasil perkalian $Av$ berbalik arah dari $v$, tetapi tetap berada pada garis yang sama.

3. Memeriksa kondisi diagonalisasi dengan memverifikasi apakah multiplisitas aljabar sama dengan multiplisitas geometris untuk semua nilai eigen. Secara matematis, untuk semua $i = 1, \ldots, k$ harus berlaku $\mu_A(\lambda_i) = \dim E_A(\lambda_i)$.

   Kondisi ini memastikan kita memiliki cukup vektor eigen independen untuk membentuk basis lengkap. Jika terpenuhi, vektor basis dari semua ruang eigen membentuk kolom matriks transformasi $S$, menghasilkan:

   $$\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$$

Contoh Aplikasi Prosedur

Perhatikan matriks:

Terapkan prosedur diagonalisasi pada contoh konkret ini:

1. Kita hitung dan faktorkan polinomial karakteristik:

   $$\begin{aligned} \chi_A(t) &= \det(A - t \cdot I) \\ &= -t^3 + t^2 + t - 1 \end{aligned}$$

   Setelah difaktorkan, kita peroleh:

   $$\chi_A(t) = (1 - t)^2 \cdot (-1 - t)$$

   Faktor-faktor tersebut memberikan nilai eigen $\lambda_1 = 1$ dengan multiplisitas aljabar $\mu_A(1) = 2$ dan $\lambda_2 = -1$ dengan multiplisitas aljabar $\mu_A(-1) = 1$. Jumlah multiplisitasnya adalah $2 + 1 = 3$, sama dengan dimensi matriks.

2. Kita tentukan ruang eigen untuk setiap nilai eigen:

   $$\begin{aligned} E_A(1) &= \ker(A - I) \\ &= \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\} \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} E_A(-1) &= \ker(A + I) \\ &= \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\right\} \end{aligned}$$

   Untuk nilai eigen 1, setiap baris $A-I$ memberikan persamaan bidang yang sama, yaitu $z=x+y$. Untuk nilai eigen −1, selesaikan dua persamaan pertama dalam $(A+I)v=0$:

   $$\begin{aligned}x-y+z&=0\Rightarrow y=x+z\\-3x-y+3z&=0\Rightarrow -4x+2z=0\\z&=2x,\qquad y=3x\end{aligned}$$

   Di sini kernel (ruang nol) adalah himpunan semua vektor yang dipetakan ke vektor nol oleh matriks, sedangkan rentang dari sekumpulan vektor adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor tersebut.

3. Kita periksa apakah kondisi diagonalisasi terpenuhi. Untuk nilai eigen $\lambda_1 = 1$, multiplisitas aljabarnya adalah $2$ dan ruang eigennya memiliki dimensi $2$ (dua vektor basis independen). Untuk nilai eigen $\lambda_2 = -1$, multiplisitas aljabarnya adalah $1$ dan ruang eigennya memiliki dimensi $1$.

   Karena $\mu_A(1) = 2 = \dim E_A(1)$ dan $\mu_A(-1) = 1 = \dim E_A(-1)$, kondisi diagonalisasi terpenuhi.

Sekarang kita dapat membentuk matriks transformasi $S$ dengan menyusun semua vektor eigen sebagai kolom, dan matriks diagonal $\Lambda$ dengan nilai eigen di diagonal utama:

Kolom-kolom $S$ dan elemen diagonal $\Lambda$ yang bersesuaian harus tetap berada dalam urutan yang sama. Konstruksi ini valid karena:

Dengan demikian, matriks $A$ berhasil didiagonalisasi menjadi $\Lambda$ melalui transformasi $\Lambda = S^{-1} \cdot A \cdot S$.

Prosedur ini membuktikan kedua syarat sekaligus: vektor-vektor eigen membentuk basis, dan representasi matriks dalam basis tersebut berbentuk diagonal.

Putar model untuk membedakan kedua ruang eigen. Setiap titik pada bidang hijau $z=x+y$ tetap karena nilai eigennya 1. Vektor jingga $v_3$ berada di luar bidang itu dan dipetakan ke vektor merah $Av_3=-v_3$. Gabungan arah tersebut merentang seluruh ruang.