Aproksimasi Terbaik dalam Ruang Fungsi dan Polinom

Ketika Fungsi Sederhana Sudah Cukup

Sebuah fungsi dapat terlalu rumit atau $terlalu lama untuk dihitung$ berulang kali. Kita dapat mencari fungsi yang lebih sederhana dan tetap dekat dengan fungsi awal.

Misalkan $C([a,b])$ menyatakan ruang vektor real yang terdiri atas fungsi kontinu pada $[a,b]$ . Galat akan diukur pada seluruh interval, sehingga setiap titik ikut diperhitungkan.

Asumsikan $a<b$ agar panjang interval positif.

Produk Skalar dan Galat pada Seluruh Interval

Untuk $f,g\in C([a,b])$ , definisikan

\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)\,dx

Produk skalar ini menjadikan $C([a,b])$ sebuah ruang berproduk skalar. Norma yang ditampilkan adalah norma $L^2$ . Untuk mendapatkan $akar rata-rata kuadrat$ , bagi nilai tersebut dengan akar panjang interval:

\operatorname{RMS}(f)=\frac{1}{\sqrt{b-a}}\|f\|_2

Besaran $\|f-g\|_2$ menggabungkan galat di seluruh interval. Galat positif dan negatif tidak dapat saling meniadakan karena selisihnya dikuadratkan di dalam integral.

Aproksimasi Terbaik sebagai Proyeksi Ortogonal

Misalkan $S\subset C([a,b])$ adalah subruang berdimensi hingga. Aproksimasi terbaik terhadap $f$ di dalam $S$ adalah fungsi tunggal $g\in S$ yang memenuhi

\|f-g\|_2=\min_{\varphi\in S}\|f-\varphi\|_2

Secara geometris, $g$ adalah $proyeksi ortogonal$ $f$ pada $S$ . Residual $r=f-g$ harus ortogonal terhadap setiap fungsi dalam ruang aproksimasi:

\begin{aligned} &\langle f-g,s\rangle=0 \\ &\text{untuk setiap }s\in S \end{aligned}

Jika $\{\phi_0,\ldots,\phi_n\}$ adalah basis $S$ dan $g=\sum_{j=0}^n c_j\phi_j$ , syarat ortogonalitas tersebut menjadi persamaan normal

\begin{aligned} &\sum_{j=0}^n\langle\phi_j,\phi_i\rangle c_j=\langle f,\phi_i\rangle, \\ &i=0,\ldots,n \end{aligned}

Mengaproksimasi Fungsi Kuadrat dengan Garis

Aproksimasikan $f(x)=x^2$ pada $[-1,1]$ dengan fungsi di dalam $S=\operatorname{span}\{1,x\}$ . Tulis $g(x)=c_0+c_1x$ . Ortogonalitas terhadap kedua fungsi basis menghasilkan

\int_{-1}^{1}\left(x^2-c_0-c_1x\right)\,dx=0

\frac23-2c_0=0,\qquad -\frac23c_1=0\quad\Longrightarrow\quad c_0=\frac13,\ c_1=0

$Suku ganjil$ berintegral nol pada interval simetris. Persamaan kedua menghasilkan $c_1=0$ , sedangkan persamaan pertama menghasilkan $c_0=1/3$ . Jadi,

g(x)=\frac13

Garis terbaiknya mendatar. Kesimpulan ini bukan tebakan: kesimetrian $x^2$ memaksa koefisien fungsi basis ganjil $x$ bernilai nol.

Fungsi kuadrat dan aproksimasi linear terbaik

Parabola sian adalah

x^2

, garis jingga adalah

\frac{1}{3}

. Ruas ungu menunjukkan selisih vertikal bertanda yang kuadratnya diintegralkan.

$x$: $[-1; 1]$
$y$: $[0; 1]$

Ruang Aproksimasi Polinom

Untuk polinom aljabar berderajat paling tinggi $n$ , gunakan

P_n([a,b])=\operatorname{span}\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}

Peningkatan $n$ memperbesar ruang aproksimasi, sehingga galat $L^2$ terkecil $tidak mungkin bertambah$ . Dalam komputasi, basis polinom ortogonal sering lebih baik daripada pangkat biasa karena menghasilkan sistem dengan kondisi numerik yang lebih baik.

Ruang Aproksimasi Trigonometri

Untuk periode $\omega>0$ , ruang $T_n(\omega)$ memuat semua fungsi berbentuk berikut, dengan koefisien real $a_i,b_i$ :

p(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{i=1}^n q_i(x)

Pada satu periode penuh, fungsi basis sinus dan kosinus tersebut $saling ortogonal$ . Koefisiennya dapat dihitung dengan memproyeksikan fungsi sasaran pada setiap fungsi basis. Inilah gagasan berdimensi hingga yang mendasari aproksimasi Fourier.

Pilihan $S$	Cocok untuk	Penentu koefisien
$P_n([a,b])$	Perilaku mulus pada interval hingga	Residual ortogonal terhadap fungsi basis polinom
$T_n(\omega)$	Perilaku periodik	Residual ortogonal terhadap fungsi basis sinus dan kosinus

$Aproksimasi terbaik adalah proyeksi ortogonal$ yang ditentukan oleh ruang fungsi, interval, dan norma yang dipilih. Kemiripan bentuk kurva saja belum cukup.