Kesamaan Matriks

Satu Transformasi Linear dalam Dua Basis Berbeda

Dalam aljabar linear, kesamaan matriks menjelaskan bagaimana dua matriks berbeda dapat merepresentasikan transformasi linear yang sama dalam basis berbeda. Entri matriks berubah mengikuti koordinat, tetapi transformasi dasarnya tetap sama.

Dua matriks $A, B \in \mathbb{K}^{n \times n}$ dikatakan $serupa atau mirip$ jika terdapat matriks yang dapat dibalik $S \in \mathbb{K}^{n \times n}$ sehingga:

B = S^{-1} \cdot A \cdot S

Matriks $S$ adalah matriks perubahan basis yang menghubungkan kedua representasi.

Transformasi Basis dan Representasi Koordinat

Matriks yang serupa mewakili transformasi linear yang sama dalam dua basis berbeda. Misalkan $e_1, \ldots, e_n \in \mathbb{K}^n$ adalah basis kanonik dan $v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{K}^n$ adalah basis lain dari $\mathbb{K}^n$ .

Jika $S$ adalah matriks yang dapat dibalik dengan kolom $v_k$ :

S = (v_1 \quad \ldots \quad v_n) \in \mathbb{K}^{n \times n}

Maka berlaku $v_k = S \cdot e_k$ atau $e_k = S^{-1} \cdot v_k$ untuk $k = 1, \ldots, n$ . Matriks $S$ menggambarkan $transformasi basis$ .

Sebuah vektor $x \in \mathbb{K}^n$ dapat dinyatakan dalam basis kanonik melalui koordinat $x_k$ dan dalam basis $v_1, \ldots, v_n$ melalui koordinat $\xi_k$ :

x = \sum_{k=1}^n x_k \cdot e_k

Matriks $S^{-1}$ menggambarkan $transformasi koordinat$ .

Transformasi Linear dalam Basis Berbeda

Sekarang pertimbangkan transformasi linear $y = A \cdot x$ . Dalam basis kanonik, $y$ dinyatakan melalui koordinat $y_k$ , sedangkan dalam basis $v_1, \ldots, v_n$ melalui koordinat $\eta_k$ :

y = \sum_{k=1}^n y_k \cdot e_k

Oleh karena itu:

S \cdot \eta = y = A \cdot x

$Hubungan koordinat$ tersebut juga dapat ditulis sebagai berikut.

\eta = S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot \xi

Dalam basis $v_1, \ldots, v_n$ , transformasi linear $y = A \cdot x$ digambarkan oleh $\eta = B \cdot \xi$ dengan matriks:

B = S^{-1} \cdot A \cdot S

Jadi, matriks serupa merepresentasikan satu transformasi linear terhadap basis yang berbeda dari $\mathbb{K}^n$ .

Contoh Perubahan Basis Terurai

Misalkan

A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}

$Transformasi yang sama dalam basis$ yang dibentuk oleh kolom-kolom $S$ memiliki matriks

AS=\begin{pmatrix}2&2\\0&3\end{pmatrix},\qquad S^{-1}AS=\begin{pmatrix}2&2-3\\0&3\end{pmatrix}

Meskipun entrinya berbeda, kedua matriks memiliki polinomial karakteristik $(t-2)(t-3)$ , jejak $5$ , dan determinan $6$ yang sama.

Koordinat	Masukan	Keluaran
Basis kanonik	$x=(2,1)^T$	$Ax=(4,3)^T$
Basis baru	$\xi=S^{-1}x=(1,1)^T$	$B\xi=(1,3)^T$

Mengubah kembali koordinat menghasilkan $vektor keluaran yang sama$ :

S\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=Ax

Sifat Invarian Matriks Serupa

Karena matriks serupa menjelaskan transformasi yang sama dalam koordinat berbeda, $sifat yang tidak bergantung pada basis tetap terjaga$ . Keduanya memiliki polinomial karakteristik, determinan, jejak, peringkat, nilai eigen beserta multiplisitas aljabar, polinomial minimal, dan ukuran blok Jordan yang sama.

Namun, keduanya tidak harus memiliki entri, koordinat vektor eigen, norma Euklides, sifat simetris, atau ortogonalitas yang sama. Sifat-sifat tersebut dapat bergantung pada basis yang dipilih. Perubahan basis uniter atau ortogonal mempertahankan lebih banyak struktur geometris daripada transformasi keserupaan umum.

Dipertahankan oleh keserupaan	Tidak selalu dipertahankan
Polinomial karakteristik dan minimal	Entri matriks
Nilai eigen dan ukuran blok Jordan	Vektor koordinat dari vektor eigen
Determinan, jejak, dan peringkat	Norma Euklides dan sifat simetris

Pembuktian Kesamaan Determinan

$Untuk determinan$ , kita dapat menunjukkan:

\det(B) = \det(S^{-1} \cdot A \cdot S)

Karena $\det(S^{-1}) = \frac{1}{\det(S)}$ , maka:

\det(B) = \frac{1}{\det(S)} \cdot \det(A) \cdot \det(S)

Korespondensi Nilai Eigen

Jika $v \in \mathbb{K}^n$ adalah vektor eigen dari $A$ dengan nilai eigen $\lambda \in \mathbb{K}$ , sehingga $A \cdot v = \lambda \cdot v$ , maka $w = S^{-1} \cdot v$ adalah vektor eigen dari $B$ dengan $nilai eigen yang sama$ :

B \cdot w = S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot w

Keserupaan matriks mempertahankan spektrum. Ketika basis berubah, koordinat vektor eigen berubah dari $v$ menjadi $S^{-1}v$ , tetapi keduanya mewakili arah geometris yang sama.