Proyeksi Ortogonal

Teorema Aproksimasi Terbaik

Misalkan $V$ adalah ruang hasil kali dalam real dan $S\subseteq V$ adalah subruang berdimensi hingga. Untuk setiap $f\in V$ , terdapat tepat satu vektor $g\in S$ sehingga

\|f-g\|=\min_{\varphi\in S}\|f-\varphi\|

Vektor $g$ adalah proyeksi ortogonal $f$ pada $S$ , ditulis $g=P_Sf$ . Vektor ini dicirikan oleh dua syarat:

g\in S

Secara ekuivalen,

\begin{aligned} &\langle f-g,\varphi\rangle=0 \\ &\text{untuk setiap }\varphi\in S \end{aligned}

Dalam ruang Hilbert, teorema yang sama berlaku untuk $setiap subruang tertutup$ . Subruang berdimensi hingga selalu tertutup.

Mengapa Ortogonalitas Memberikan Minimum

Misalkan $g=P_Sf$ dan pilih sembarang $\varphi\in S$ . Karena $g-\varphi\in S$ dan $f-g\perp S$ , $identitas Pythagoras$ memberikan

f-\varphi=(f-g)+(g-\varphi)

Kesamaan hanya terjadi ketika $\varphi=g$ . Karena itu, $g=P_Sf$ adalah satu-satunya elemen di $S$ yang meminimalkan jarak ke $f$ .

Rumus untuk Basis Ortonormal

Jika $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ adalah basis ortonormal dari $S$ , maka

P_Sf=\sum_{i=1}^n\langle f,\varphi_i\rangle\varphi_i

Baris kedua diperoleh dengan menguraikan $f$ menjadi $komponen tegak lurus$ $P_Sf$ dan $f-P_Sf$ .

Untuk matriks real $Q\in\mathbb{R}^{m\times n}$ dengan kolom ortonormal,

P=QQ^T

Matriks $P$ memproyeksikan vektor di $\mathbb{R}^m$ pada $\operatorname{col}(Q)$ .

Memproyeksikan Vektor pada Subruang Satu Dimensi

Dua vektor yang akan dipakai adalah

f=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}

Proyeksikan vektor $f$ pada $S=\operatorname{span}\{u\}$ . $Koefisien proyeksinya$ adalah

\frac{\langle f,u\rangle}{\langle u,u\rangle}=\frac{1\cdot2+3\cdot1}{2^2+1^2}=1

Karena itu,

g=P_Sf=u=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}

Proyeksi

f

pada

\operatorname{span}\{u\}

Vektor sian adalah

f

, vektor jingga adalah

g=P_Sf

, dan ruas ungu adalah residual tegak lurus

r=f-g

$x$: $[0; 2]$
$y$: $[0; 3]$

Konstruksi dari Basis Sembarang

Misalkan $\psi_1,\ldots,\psi_n$ adalah sembarang basis dari $S$ dan tulis

g=\sum_{i=1}^n\alpha_i\psi_i

Syarat ortogonalitas memberikan $sistem Gram$

\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\langle\psi_i,\psi_k\rangle\alpha_i=\langle f,\psi_k\rangle, \\ &k=1,\ldots,n \end{aligned}

Dalam sistem ini, $G_{ki}=\langle\psi_i,\psi_k\rangle$ dan $c_k=\langle f,\psi_k\rangle$ . Karena vektor basis saling bebas linear,

\begin{aligned} &z^TGz=\left\|\sum_{i=1}^nz_i\psi_i\right\|^2>0 \\ &\text{untuk }z\ne0 \end{aligned}

Ketaksamaan di atas menunjukkan bahwa $G$ simetris positif definit, sehingga koefisien proyeksi bersifat unik.

Jika vektor-vektor basis tersebut menjadi kolom matriks $A$ dan $A$ memiliki peringkat kolom penuh, maka

P=A(A^TA)^{-1}A^T

Matriks $P$ adalah proyektor ortogonal yang sama. Rumus ini memberikan bentuk aljabar proyektor. Dalam komputasi numerik, hitung proyeksi dengan $\mathrm{QR}$ atau $\mathrm{SVD}$ karena pembentukan $A^TA$ menguadratkan bilangan kondisi.

Contoh Ruang Fungsi

Proyeksikan $f(x)=x^2$ pada $S=\operatorname{span}\{1,x\}$ menggunakan

\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx

Fungsi $1$ dan $x$ saling ortogonal. Koefisiennya adalah

c_0=\frac{\langle x^2,1\rangle}{\langle1,1\rangle}=\frac{2/3}{2}=\frac13

Dengan demikian,

P_Sf(x)=\frac13

Suku linear hilang karena $x^3$ merupakan $fungsi ganjil pada interval simetris$ .

Sifat Proyektor Ortogonal

Sifat	Makna
$P^2=P$	proyeksi kedua tidak mengubah hasil
$P^T=P$	daerah hasil dan ruang nol saling ortogonal
$\operatorname{range}(P)=S$	setiap keluaran berada dalam subruang tujuan
$\ker(P)=S^\perp$	komponen tegak lurus dihilangkan

Proyektor miring juga dapat memenuhi $P^2=P$ . Karena proyektor itu belum tentu simetris, syarat $P^T=P$ $membedakan proyektor ortogonal Euklides$ .