For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Pertanyaan penting yang muncul adalah apakah pendekatan terbaik itu benar-benar ada dan apakah solusinya unik? Jawabannya adalah ya. Misalkan adalah ruang vektor euklidean dan adalah subruang vektor berdimensi hingga. Maka untuk setiap terdapat pendekatan terbaik yang tunggal dengan
Teorema ini memberikan jaminan bahwa pendekatan terbaik selalu ada dan bersifat unik. Seperti mencari titik terdekat dari sebuah lokasi ke jalan raya, selalu ada satu titik yang memberikan jarak terpendek.
Misalkan adalah dimensi dari dan adalah basis dari . Dengan menggunakan proses Gram-Schmidt, kita dapat menghitung basis ortonormal dari dengan .
Setiap memiliki representasi tunggal sebagai . Kemudian berlaku
Dengan menggunakan identitas , kita peroleh
Fungsi adalah pendekatan terbaik dari jika dan hanya jika untuk .
Untuk basis ortonormal dari , pendekatan terbaik diberikan oleh
Pendekatan terbaik memenuhi rumus jarak
Pendekatan terbaik dari dalam adalah proyeksi ortogonal dari pada . Hal ini berarti
Secara geometris, vektor dari ke tegak lurus terhadap subruang . Bayangkan seperti menjatuhkan bola dari udara ke lantai, titik jatuhnya adalah proyeksi ortogonal bola tersebut pada lantai.
Ketika basis ortonormal dari tidak diketahui, kita dapat menggunakan basis sembarang dari . Misalkan adalah representasi unik dari terhadap basis ini.
Karena , maka kondisi ortogonalitas memberikan
Ini menghasilkan sistem persamaan linear
Matriks koefisien disebut matriks Gram dari basis . Matriks ini bersifat simetris dan positif definit. Untuk berlaku
Namun, matriks dapat menjadi sangat buruk kondisinya dalam praktik. Sebagai contoh, untuk basis monomial , matriks menjadi sangat tidak stabil sehingga perhitungan menjadi sulit dilakukan untuk yang besar.
Pendekatan Gauss dengan basis ortonormal dari memiliki keunggulan karena kemudahan perhitungan pendekatan terbaik
tanpa perlu menyelesaikan sistem persamaan linear. Dengan basis ortonormal, kita dapat langsung menghitung koefisien proyeksi seperti menggunakan sistem koordinat yang sudah tersusun rapi dan saling tegak lurus.
