Polinomial Ortogonal

Ortogonalitas untuk Fungsi

Gunakan fungsi real kontinu pada interval hingga $a<b$ dan bobot yang terintegralkan serta positif di bagian dalam interval. Singularitas ujung interval yang terintegralkan diperbolehkan, seperti pada bobot Chebyshev di bawah.

Hasil kali dalam berbobot dan normanya adalah

\langle f,g\rangle_w=\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx

Dua fungsi bersifat ortogonal ketika $\langle f,g\rangle_w=0$ . Geometri $L^2$ berbobot mengukur galat kuadrat berbobot di seluruh interval.

\begin{aligned} &\|f-g\|_w^2 \\ &=\int_a^b|f(x)-g(x)|^2w(x)\,dx \end{aligned}

Sebaliknya, norma maksimum mengukur $galat titik terbesar$ .

\|f-g\|_\infty=\max_{x\in[a,b]}|f(x)-g(x)|

Proyeksi ortogonal meminimumkan galat $L^2$ berbobot. Polinomial Chebyshev juga memiliki sifat minimaks yang terpisah. Hasil kali dalam berbobot dan norma maksimum mengukur dua jenis galat yang berbeda.

Proyeksi pada Basis Ortogonal

Misalkan $p_0,\ldots,p_n$ saling ortogonal. Proyeksi berderajat $n$ dari $f$ adalah

\Pi_n f(x)=\sum_{k=0}^n c_kp_k(x)

Karena suku silang bernilai nol, $setiap koefisien dapat dihitung secara terpisah$ . Penghitungan terpisah itu merupakan padanan fungsional dari penguraian vektor sepanjang sumbu koordinat yang saling tegak lurus.

Menyusun Barisan Langkah demi Langkah

Penerapan Gram-Schmidt pada $1,x,x^2,\ldots$ menghasilkan barisan polinomial ortogonal monik $\pi_k$ . Dengan hasil kali dalam yang positif, barisan ini memenuhi

\pi_0(x)=1

Koefisien rekurensi ditentukan oleh

\alpha_k=\frac{\langle x\pi_k,\pi_k\rangle_w}{\|\pi_k\|_w^2}

Rekurensi tiga suku dan $\beta_k$ berlaku untuk $k\ge1$ .

Perkalian dengan $x$ menaikkan derajat sebesar satu. Sifat ortogonal menghilangkan semua komponen di bawah $\pi_{k-1}$ , sehingga rumus rekurensi di atas hanya memuat $tiga suku$ .

Polinomial Chebyshev Jenis Pertama

Pada $[-1,1]$ , pilih

w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

T_0(x)=1,\qquad T_1(x)=x

Ortogonalitas berbobotnya adalah

\begin{aligned} &\int_{-1}^{1}\frac{T_j(x)T_k(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx \\ &=\begin{cases}\pi,&j=k=0,\\\frac{\pi}{2},&j=k>0,\\0,&j\ne k.\end{cases} \end{aligned}

Karena $|T_k(x)|\le1$ pada $[-1,1]$ dan koefisien utamanya adalah $2^{k-1}$ untuk $k\ge1$ , polinomial monik $2^{1-k}T_k$ memiliki $norma maksimum terkecil$ di antara semua polinomial monik berderajat $k$ . Karena itu, polinomial tersebut menyelesaikan masalah aproksimasi minimaks untuk polinomial monik berderajat $k$ .

Polinomial Chebyshev pertama

T_0,T_1,T_2,T_3

Keempatnya tetap berada di antara

-1

dan

1

pada interval

[-1,1]

$x$: $[-1; 1]$
$y$: $[-1; 1]$

Polinomial Legendre

Untuk hasil kali dalam tanpa bobot pada $[-1,1]$ ,

\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\,dx

Untuk hasil kali dalam ini, polinomial Legendre standar memenuhi

P_0(x)=1,\qquad P_1(x)=x

Ortogonalitas dan normalisasinya adalah

\int_{-1}^{1}P_j(x)P_k(x)\,dx=\frac{2}{2k+1}\delta_{jk}

Sebagai contoh,

P_2(x)=\frac12(3x^2-1)

Identitas kedua memberikan $ekspansi ortogonal yang eksak$ .

Mengubah Interval Polinomial Ortogonal

Untuk memindahkan interval $[-1,1]$ ke $[a,b]$ , kita pakai $perubahan variabel afin$ berikut.

x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t

Jika $\varphi_k$ ortonormal pada $[-1,1]$ , maka

\widetilde{\varphi}_k(x)=\sqrt{\frac{2}{b-a}}\,\varphi_k\left(\frac{2x-a-b}{b-a}\right)

Fungsi $\widetilde{\varphi}_k$ ortonormal pada $[a,b]$ karena

\begin{aligned} &\int_a^b\widetilde{\varphi}_j(x)\widetilde{\varphi}_k(x)\,dx \\ &=\int_{-1}^{1}\varphi_j(t)\varphi_k(t)\,dt \\ &=\delta_{jk} \end{aligned}

Hubungan dengan Kuadratur Gauss

Misalkan $p_n$ adalah polinomial ortogonal berderajat $n$ untuk bobot positif dan interval yang sama dengan suatu integral. Polinomial tersebut memiliki $n$ akar, dan akar-akar itu menjadi titik kuadratur Gauss. Bobot positif yang sesuai $w_i$ kemudian memberikan

\int_a^b f(x)w(x)\,dx\approx\sum_{i=1}^n w_i f(x_i)

Aturan ini $eksak untuk setiap polinomial$ berderajat paling tinggi $2n-1$ . Akar Legendre menghasilkan kuadratur Gauss-Legendre untuk bobot $w(x)=1$ . Akar Chebyshev menghasilkan kuadratur Gauss-Chebyshev untuk $w(x)=1/\sqrt{1-x^2}$ .

Untuk dua titik Gauss-Legendre, $P_2(x)=0$ memberikan $x=\pm1/\sqrt3$ dengan kedua bobot sama dengan 1. Periksa langsung integral kuadrat:

\int_{-1}^1x^2\,dx=\frac23=1\left(-\frac1{\sqrt3}\right)^2+1\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2

Basis	Bobot pada $[-1,1]$	Paling sesuai untuk
Chebyshev $T_k$	$1/\sqrt{1-x^2}$	grid interpolasi stabil, aproksimasi mendekati minimaks, metode spektral
Legendre $P_k$	$1$	proyeksi $L^2$ tanpa bobot dan kuadratur Gauss-Legendre

Pilihan jenis polinomial bergantung pada hasil kali dalam, tujuan aproksimasi, dan bobot kuadratur. Mengubah hasil kali dalam, tujuan aproksimasi, atau bobot kuadratur akan mengubah masalah matematis yang dihitung.