Teorema Spektral

Matriks Normal

Teorema spektral kompleks menyatakan bahwa sebuah matriks dapat didiagonalisasi menggunakan basis ortonormal yang terdiri atas vektor eigen $tepat ketika matriks tersebut normal$ . Dalam bentuk matriks,

$A$ normal jika dan hanya jika memiliki dekomposisi berikut dengan $U$ uniter dan $\Lambda$ diagonal:

A=U\Lambda U^H

Dalam bentuk ini, $U$ uniter dan $\Lambda$ diagonal. Kolom-kolom $U$ membentuk basis ortonormal yang terdiri atas vektor eigen. Karena $U$ uniter, perubahan basis ini mempertahankan panjang dan sudut. Pada kasus simetris real, $U$ dapat dipilih real dan ortogonal sehingga $U^{-1}=U^T$ .

Matriks kompleks $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ disebut normal jika $A$ berkomutasi dengan transpos konjugatnya.

A \cdot A^H = A^H \cdot A

Kondisi aljabar ini membuat ruang eigen untuk nilai eigen yang berbeda saling ortogonal. Untuk matriks dengan entri bilangan kompleks, kondisi ini juga memungkinkan diagonalisasi uniter.

Sifat Khusus Ruang Eigen Matriks Normal

Pada matriks normal, ruang nol matriks sama dengan ruang nol konjugat transposnya.

Ruang nol (kernel) adalah himpunan semua vektor $x$ yang memenuhi $Ax=0$ . Normalitas memberikan $identitas norma$ berikut untuk setiap $x$ :

\lVert Ax\rVert_2^2=x^HA^HAx

Jadi $Ax=0$ jika dan hanya jika $A^Hx=0$ , sehingga

\ker A=\ker A^H

Terapkan identitas ruang nol yang sama pada matriks normal $A-\lambda I$ . Untuk setiap nilai eigen $\lambda \in \mathbb{C}$ , kita memperoleh hubungan ruang eigen:

E_A(\lambda)=E_{A^H}(\overline{\lambda})

Jadi, jika $Av=\lambda v$ , maka $A^H v=\overline{\lambda}v$ . Matriks $A$ dan $A^H$ memiliki vektor eigen yang sama. Nilai eigen $A^H$ adalah konjugat kompleks dari nilai eigen $A$ .

Identitas ini juga membuktikan ortogonalitas. Jika $Av=\lambda v$ dan $Aw=\mu w$ dengan $\lambda\neq\mu$ , maka

\overline{\lambda}v^Hw=(Av)^Hw=v^HA^Hw

Matriks Hermitian dan Uniter sebagai Contoh Normal

Dua jenis matriks penting yang selalu normal adalah matriks Hermitian dan matriks uniter. Matriks Hermitian sama dengan adjointnya sendiri, sedangkan invers matriks uniter sama dengan adjointnya, sehingga kedua sisi syarat normalitas menjadi $hasil kali yang sama$ .

Matriks Hermitian dan Nilai Eigen Riil

Matriks Hermitian memiliki sifat $A^H=A$ . Karena $A^H=A$ , kedua sisi syarat normalitas sama dengan $A^2$ .

Nilai eigen matriks Hermitian $selalu real$ . Jika $Av=\lambda v$ dengan $v\neq0$ , sifat Hermitian memberikan:

\begin{aligned} \lambda v^H v &= v^HAv \\ &= v^HA^Hv \\ &= (Av)^Hv \\ &= \overline{\lambda}v^Hv \\ &\Rightarrow \lambda \\ &=\overline{\lambda} \end{aligned}

Kesamaan $\lambda=\overline{\lambda}$ menyatakan tepat bahwa $\lambda$ adalah bilangan real.

Contoh Hermitian yang Dihitung Lengkap

Perhatikan

H=\begin{pmatrix}2&i\\-i&2\end{pmatrix}

Konjugat transposnya menghasilkan matriks yang sama, jadi $H^H=H$ . Polinomial karakteristiknya adalah $(2-\lambda)^2-1$ , sehingga nilai eigennya yang real adalah $1$ dan $3$ . Vektor eigen ternormalisasi yang sesuai ialah

\begin{aligned} &u_1=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}-i\\1\end{pmatrix}, \\ &u_3=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix} \end{aligned}

Kedua vektor itu $ortonormal karena$ $u_1^Hu_3=0$ dan norma keduanya $1$ . Matriks $U$ memberi diagonalisasi uniter bagi $H$ pada contoh berukuran $2\times2$ ini.

u_1^Hu_3=\frac{(i)(i)+1}{2}=0,\qquad Hu_1=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}-2i+i\\(-i)(-i)+2\end{pmatrix}=u_1

Matriks Uniter dan Nilai Eigen pada Lingkaran Satuan

Matriks uniter memiliki sifat $A^H = A^{-1}$ . Substitusi ke definisi normal menghasilkan $A \cdot A^H = A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A = A^H \cdot A$ .

Nilai eigen matriks uniter memiliki modulus $1$ , sehingga terletak pada $lingkaran satuan$ di bidang kompleks. Jika $Av=\lambda v$ dengan $v\neq0$ , sifat uniter mempertahankan norma:

\lVert v\rVert^2 = \lVert Av\rVert^2 = \lVert \lambda v\rVert^2 = |\lambda|^2\lVert v\rVert^2

Jadi setiap nilai eigen matriks uniter memiliki modulus $1$ . Secara geometri, transformasi uniter mempertahankan panjang vektor dan semua nilai eigennya berada pada lingkaran satuan.