Teorema Spektral untuk Matriks Normal Real

Basis Eigen Real pada Matriks Normal Real

Untuk $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ , pernyataan berikut ekuivalen:

Ada basis ortonormal dari $\mathbb{R}^n$ yang terdiri atas vektor eigen $A$ .
Matriks tersebut normal dan polinomial karakteristiknya $\chi_A(t)$ terurai sepenuhnya menjadi faktor linear di $\mathbb{R}$ .
Ada matriks ortogonal real $Q$ dan matriks diagonal real $\Lambda$ sehingga $A=Q\Lambda Q^T$ .
Matriks tersebut simetris: $A^T=A$ .

Ekuivalensi ini menjelaskan syarat tambahan dibandingkan dengan matriks normal kompleks. Matriks normal kompleks selalu memiliki basis eigen uniter, tetapi $basis dan nilai eigennya belum tentu real$ .

Buktinya menghubungkan keempat pernyataan secara langsung. Basis eigen ortonormal menjadi kolom-kolom $Q$ . Dari $A=Q\Lambda Q^T$ dengan $\Lambda$ diagonal real, kita memperoleh $A^T=A$ . Sebaliknya, teorema spektral real mendiagonalisasi setiap matriks simetris real secara ortogonal. Terakhir, jika matriks normal real hanya memiliki nilai eigen real, diagonalisasi uniternya di bilangan kompleks memenuhi $A^H=A$ . Karena $A$ real, persamaan ini sama dengan $A^T=A$ .

Kelas matriks	Medan	Bentuk spektral yang dijamin
Normal kompleks	$\mathbb{C}$	Diagonalisasi uniter. Nilai eigen dapat kompleks
Hermitian kompleks	$\mathbb{C}$	Diagonalisasi uniter dengan nilai eigen real
Simetris real	$\mathbb{R}$	Diagonalisasi ortogonal dengan nilai eigen real
Ortogonal real	$\mathbb{R}$	Umumnya berbentuk blok rotasi real. Bentuk diagonal real hanya jika semua nilai eigen real

Matriks Normal tanpa Basis Eigen Real

Perhatikan rotasi sebesar sudut $\alpha$ yang bukan kelipatan bulat dari $\pi$ :

R_\alpha=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}

Matriks ini ortogonal, sehingga $R_\alpha^TR_\alpha=I=R_\alpha R_\alpha^T$ dan matriksnya normal. Polinomial karakteristiknya adalah

\chi_{R_\alpha}(t)=(t-\cos\alpha)^2+\sin^2\alpha

Diskriminannya

\Delta=4\cos^2\alpha-4=-4\sin^2\alpha<0

Karena $\alpha$ bukan kelipatan bulat dari $\pi$ , berlaku $\sin\alpha\neq0$ . Jadi, polinomial karakteristik $tidak memiliki akar real$ dan $R_\alpha$ tidak mempunyai basis vektor eigen real. Di $\mathbb{C}$ , nilai eigennya adalah $e^{i\alpha}$ dan $e^{-i\alpha}$ .

Saat $\alpha=\pi/2$ , vektor biru $v=(1,1)^T$ menjadi vektor jingga $Rv=(-1,1)^T$ . Hasil kali titik kedua vektor adalah nol. Secara umum, $(x,y)\cdot(-y,x)=0$ , sehingga setiap vektor real tak nol berputar 90°, bukan tetap pada garis semula.

Seperempat putaran mengubah setiap arah real

Vektor biru dan bayangannya yang berwarna jingga saling tegak lurus. Rotasi seperempat putaran tidak mempertahankan garis arah vektor real tak nol.

$x$: $[-1; 1]$
$y$: $[0; 1]$

Matriks Diagonalisabel yang Tidak Normal

Matriks berikut dapat didiagonalisasi di $\mathbb{R}$ , tetapi bukan matriks normal:

A=\begin{pmatrix}1&3\\0&2\end{pmatrix}

Nilai eigen $1$ dan $2$ berbeda, sehingga matriks ini dapat didiagonalisasi. Ruang eigennya adalah

E_A(1)=\ker(A-I)=\operatorname{span}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}

Dengan memakai kedua vektor eigen sebagai kolom, kita memperoleh diagonalisasi eksplisit:

S=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}

Namun, kedua vektor eigen tidak ortogonal karena

\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=3\neq0

Perkalian langsung juga menunjukkan bahwa $A$ tidak normal:

AA^T=\begin{pmatrix}10&6\\6&4\end{pmatrix}

Contoh ini memisahkan kedua gagasan tersebut. Diagonalisasi biasa mengizinkan sembarang matriks vektor eigen $S$ yang invertibel, sedangkan $diagonalisasi ortogonal memerlukan basis eigen ortonormal$ dan karena itu memerlukan matriks simetris real.