Penentuan Arah Resultan Vektor dengan Rumus Sinus

Besar Resultan Belum Menentukan Arah Vektor

Rumus kosinus memberi besar resultan, tetapi belum memberi arah lengkapnya. Dalam soal vektor, jawaban seperti $15{,}6\text{ N}$ belum cukup jika arah gayanya belum disebutkan.

Untuk dua vektor, arah resultan dapat ditentukan dengan $rumus sinus$ . Rumus ini bekerja pada $segitiga resultan yang dibentuk oleh dua vektor$ dan resultannya.

\frac{\sin\phi}{B}=\frac{\sin\theta}{R}

Pada bentuk ini, $\theta$ adalah sudut apit antara $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ , $R$ adalah besar resultan, dan $\phi$ adalah sudut antara $\vec{A}$ dan resultan $\vec{R}$ .

Gunakan segitiga ini untuk $dua vektor tak nol yang tidak segaris$ . Sudut apit memenuhi $0^\circ<\theta<180^\circ$ . Jika resultan nol, resultan tidak memiliki arah yang dapat dihitung.

Rumus sinus biasanya dipakai setelah besar resultan sudah diketahui.

Membaca Sudut yang Dicari

Sebelum menghitung, tentukan dulu $arah acuan$ . Jika ditanya arah resultan terhadap $\vec{A}$ , maka sudut yang dicari adalah sudut dari $\vec{A}$ menuju $\vec{R}$ .

Jika ditanya arah terhadap $\vec{B}$ , sudutnya berbeda. Jangan menukar sudut tanpa melihat segitiga vektornya.

Hubungan yang sering dipakai:

\sin\phi=\frac{B\sin\theta}{R}

Nilai $\phi_0$ adalah $calon sudut lancip atau siku-siku$ . Untuk memilih $\phi=\phi_0$ atau $\phi=180^\circ-\phi_0$ , periksa arah komponen resultan. Jangan langsung menganggap hasil invers sinus sebagai sudut final.

Rumus ini mencari sudut resultan terhadap vektor $\vec{A}$ . Karena sisi yang berhadapan dengan sudut $\phi$ adalah besar vektor $B$ , maka $B$ muncul di pembilang.

Contoh Arah Resultan Dua Gaya

Dua gaya bekerja pada satu titik. $A=10\text{ N}$ , $B=8\text{ N}$ , dan sudut apitnya $60^\circ$ . Dari rumus kosinus, besar resultannya adalah $R\approx15{,}6\text{ N}$ .

Gunakan $nilai resultan yang belum dibulatkan$ untuk mencari sudut $\phi$ antara $\vec{A}$ dan $\vec{R}$ .

\begin{aligned} \sin\phi&=\frac{B\sin\theta}{R} \\ &=\frac{8\sin60^\circ}{\sqrt{244}} \\ &=\frac{4\sqrt3}{\sqrt{244}} \\ &\approx0{,}4435 \end{aligned}

Maka:

\phi=\sin^{-1}(0{,}4435)\approx26{,}3^\circ

Jadi, resultan gaya besarnya sekitar $15{,}6\text{ N}$ dengan arah $26{,}3^\circ$ dari $\vec{A}$ menuju $\vec{B}$ .

Mengecek dengan Metode Komponen

Arah yang sama dapat dicek memakai $komponen resultan$ . Jika $\vec{A}$ diletakkan pada sumbu $x$ positif, maka:

R_x=A+B\cos\theta

Untuk contoh yang sama:

\begin{aligned} \tan\phi &=\frac{8\sin60^\circ}{10+8\cos60^\circ} \\ &=\frac{4\sqrt3}{14} \\ &\approx0{,}495 \end{aligned}

Menghitung $\arctan(0{,}495)$ memberi $\phi\approx26{,}3^\circ$ . Hasil ini cocok dengan hasil dari rumus sinus dan menunjukkan bahwa sudut yang dihitung adalah $\phi$ .

Karena $\sin\phi=\sin(180^\circ-\phi)$ , invers sinus saja dapat memberi sudut lancip padahal segitiga memerlukan sudut pelurus yang tumpul. Gunakan geometri vektor atau bentuk komponen $\phi=\operatorname{atan2}(R_y,R_x)$ untuk memilih kuadran yang benar.

Memilih Sudut Tumpul

Misalkan $A=1\text{ N}$ , $B=\sqrt3\text{ N}$ , dan $\theta=150^\circ$ . Letakkan gaya pertama sepanjang sumbu horizontal positif. Hitung komponen sebelum memilih sudut:

\begin{aligned}R_x &= A+B\cos150^\circ \\ &= 1+\sqrt3\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) \\ &= -\frac12\text{ N}\end{aligned}

Komponen horizontal $negatif$ , sedangkan komponen vertikal $positif$ . Resultan berada di kuadran kedua.

Resultan di Kuadran Kedua

Panah resultan ungu mengarah ke kiri atas. Bandingkan arah itu dengan sudut lancip yang dikembalikan invers sinus.

\begin{aligned}R &= \sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}\text{ N} \\ &= \sqrt{\frac14+\frac34}\text{ N} \\ &= 1\text{ N}\end{aligned}

Invers sinus memberi $60^\circ$ , tetapi arah resultan adalah $180^\circ-60^\circ=120^\circ$ . Tanda komponenlah yang membedakan kedua calon sudut.

Metode Komponen untuk Lebih dari Dua Vektor

Jika vektornya lebih dari dua, $metode komponen$ menempatkan semua vektor pada sumbu $x$ dan $y$ yang sama, lalu menjumlahkan komponennya. Kita tidak perlu membuat beberapa segitiga dan menentukan sudut mana yang masuk ke setiap persamaan rumus sinus. Metode komponen juga langsung cocok saat arah vektor sudah diukur dari sumbu koordinat.

Rumus sinus dapat dipakai ketika ada dua vektor, sudut apit dan besar resultan sudah diketahui, lalu arah resultan terhadap salah satu vektor perlu dicari. Sebelum menuliskan arah, periksa geometri atau gunakan $\operatorname{atan2}$ agar kuadran sudutnya benar.