Fungsi Kepadatan Distribusi Normal

Mengenal Distribusi Normal

Pengukuran seperti tinggi badan manusia atau hasil laboratorium berulang sering mengelompok di sekitar suatu nilai tengah. Pada populasi dan kondisi tertentu, distribusi normal dapat mendekati pola tersebut. Periksa kecocokan model dengan data yang diamati sebelum menggunakannya.

Pada tahun $1733$, Abraham de Moivre menurunkan pendekatan normal untuk distribusi binomial dengan $n$ yang besar. Pierre-Simon Laplace kemudian memperluas hasil tersebut, yang kini berkaitan dengan teorema de Moivre-Laplace dan perkembangan teorema limit pusat.

Distribusi normal adalah salah satu model yang dapat dipilih. Model ini berguna ketika pengamatan kurang lebih simetris di sekitar rata-rata dan kecocokannya memadai untuk pertanyaan yang sedang dikaji.

Karakteristik Kurva Normal

Fungsi kepadatan normal berbentuk lonceng yang simetris. Visualisasi berikut menunjukkan kurva normal standar dengan $\mu = 0$ dan $\sigma = 1$:

Kurva ini memiliki empat ciri utama:

1. Bentuk dan Simetri

   Kurva berbentuk seperti lonceng dan simetris terhadap garis vertikal yang melewati rata-rata ($\mu$). Artinya, bagian kiri dan kanan kurva adalah cerminan sempurna satu sama lain.

2. Titik Pusat

   Kepadatan normal simetris dan memiliki satu puncak. Karena itu, rata-rata, median, dan modusnya berimpit di $\mu$.

3. Titik Belok

   Kurva memiliki titik belok di $x = \mu \pm \sigma$, yang berarti kurva berubah dari cekung ke cembung (atau sebaliknya) pada jarak satu standar deviasi dari mean.

4. Asimtot Horizontal

   Kepadatan tetap positif untuk setiap $x$ berhingga dan mendekati $0$ ketika $x$ menuju salah satu arah tak berhingga.

Fungsi Kepadatan Peluang

Rumus berikut memberikan kepadatan peluang pada setiap nilai $x$.

Jika $X$ terdistribusi normal dengan rata-rata $\mu$, varians $\sigma^2$, dan $\sigma>0$, fungsi kepadatannya adalah:

Rumus ini berlaku untuk setiap $x$ yang memenuhi $-\infty < x < \infty$.

Arti setiap konstanta dan parameter adalah:

• $\pi \approx 3{,}1416$ adalah konstanta lingkaran
• $e \approx 2{,}7183$ adalah bilangan Euler
• $\mu$ adalah rata-rata distribusi
• $\sigma>0$ adalah simpangan baku

Parameter $\mu$ menggeser pusat kurva, sedangkan $\sigma$ menentukan sebarannya. Peluang diperoleh dari luas di bawah kurva kepadatan. Tinggi $f(x)$ pada satu titik merupakan nilai kepadatan.

Transformasi ke Normal Standar

Dalam praktik, kita sering menggunakan distribusi normal standar dengan rata-rata $\mu = 0$ dan simpangan baku $\sigma = 1$. Untuk mengubah distribusi normal biasa menjadi normal standar, kita menggunakan transformasi:

Variabel $Z$ disebut skor baku atau skor-z. Nilainya menunjukkan berapa simpangan baku posisi $x$ di atas atau di bawah rata-rata dan memungkinkan satu tabel normal standar digunakan untuk semua distribusi normal.

Mengapa menggunakan z-score?

Dengan transformasi ini, kita bisa membandingkan data dari distribusi yang berbeda. Misalnya, kamu bisa membandingkan nilai matematika dengan nilai fisika, meskipun rata-rata dan standar deviasinya berbeda.

Menghitung Peluang Normal di Antara Dua Batas

Misalkan $X$ terdistribusi normal dengan $\mu = 50$ dan $\sigma = 10$. Tentukan peluang bahwa $X$ berada antara $45$ dan $62$.

Langkah 1: Transformasi ke z-score

Langkah 2: Gunakan tabel distribusi normal standar

Interval yang telah dibakukan adalah $P(-0{,}5 < Z < 1{,}2)$. Kurangi peluang kumulatif pada batas bawah dari peluang kumulatif pada batas atas:

Dari tabel distribusi normal standar:

• $P(Z < -0{,}5) = 0{,}3085$
• $P(Z < 1{,}2) = 0{,}8849$

Langkah 3: Hitung peluang akhir

Jadi, peluang bahwa $X$ berada antara $45$ dan $62$ adalah $0{,}5764$ atau sekitar $57{,}64\%$.