Nilai Harapan Distribusi Normal

Pusat Distribusi Normal Menentukan Nilai Harapan

Nilai harapan adalah rata-rata berbobot peluang dari suatu variabel acak, atau rata-rata jangka panjang yang didekati oleh banyak pengamatan saling bebas. Secara umum, nilai harapan tidak harus sama dengan nilai yang paling sering muncul. Khusus pada distribusi normal, rata-rata, median, modus, dan nilai harapan berada di pusat yang sama.

Kesimetrian tersebut menghasilkan aturan nilai harapan yang sederhana.

Jika $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ dengan $\sigma>0$, nilai harapannya sama dengan parameter rata-rata $\mu$.

Secara matematis, kita dapat menuliskan:

Pada notasi tersebut, $X$ adalah variabel acak berdistribusi normal dan $\mu$ adalah parameter rata-ratanya.

Perhitungan berikut menunjukkan alasannya.

Menurunkan Nilai Harapan dari Integral

Nilai harapan suatu variabel acak kontinu didefinisikan sebagai:

Untuk distribusi normal dengan $\sigma>0$, fungsi kepadatan peluangnya adalah:

Substitusikan fungsi ini ke dalam rumus nilai harapan:

Gunakan substitusi $t = \frac{x-\mu}{\sigma}$. Maka $x = \sigma t + \mu$ dan $dx = \sigma \, dt$.

Tuliskan densitas asal setelah substitusi $x=\sigma t+\mu$ sebagai $h(t)$, dan pertahankan $dx=\sigma\,dt$ sebagai faktor terpisah:

Perhatikan bahwa:

• Integral pertama $\int_{-\infty}^{\infty} t e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt = 0$ karena $g(t)=t e^{-\frac{1}{2}t^2}$ adalah fungsi ganjil. Dengan demikian, $g(-t) = -g(t)$, sehingga luas bertanda pada interval simetris $(-\infty, \infty)$ saling meniadakan.

• Integral kedua $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt = \sqrt{2\pi}$ adalah integral Gaussian. Setelah dikalikan faktor normalisasi $1/\sqrt{2\pi}$, hasilnya menjadi peluang total $1$ pada kepadatan normal standar.

Maka:

Jadi, nilai harapan variabel acak normal sama dengan parameter rata-ratanya.

Untuk setiap distribusi normal $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, berlaku $E(X) = \mu$. Ini berarti kita tidak perlu melakukan integrasi setiap kali menghitung nilai harapan distribusi normal, cukup menggunakan nilai parameter $\mu$.

Arti Nilai Harapan dalam Data

Untuk distribusi normal, hubungan antara nilai harapan dan rata-rata adalah sebagai berikut.

Untuk variabel acak normal dengan rata-rata $\mu$ dan simpangan baku $\sigma$, nilai harapannya tepat $\mu$. Pada banyak pengamatan saling bebas dari distribusi tersebut, rata-rata sampel mendekati $\mu$ sesuai hukum bilangan besar.

Contoh:

Jika tinggi badan sekelompok siswa terdistribusi normal dengan rata-rata $165 \text{ cm}$, maka nilai harapan tinggi badan siswa yang dipilih secara acak adalah $165 \text{ cm}$.

Nilai Harapan Skor Ujian dan Berat Bayi

Contoh 1

Misalkan hasil ujian matematika di suatu kelas terdistribusi normal dengan rata-rata $\mu = 75$ dan standar deviasi $\sigma = 10$. Berapakah nilai harapan skor ujian seorang siswa?

Penyelesaian:

Karena distribusi normal memiliki sifat $E(X) = \mu$, maka nilai harapan skor ujian adalah:

Jadi, nilai harapan skor ujian seorang siswa adalah $75$.

Contoh 2

Misalkan berat bayi baru lahir di suatu rumah sakit dimodelkan dengan distribusi normal yang memiliki rata-rata $3{.}200 \text{ gram}$ dan simpangan baku $400 \text{ gram}$. Tentukan berat harapan satu bayi yang dipilih secara acak.

Penyelesaian:

Diketahui $\mu = 3{.}200 \text{ gram}$ dan $\sigma = 400 \text{ gram}$.

Berat harapannya sama dengan parameter rata-rata:

Latihan

Kedua soal memberikan rata-rata dan simpangan baku suatu distribusi normal, lalu meminta nilai harapannya. Bacalah rata-rata langsung dari deskripsinya, karena nilai harapan distribusi normal sama dengan titik pusatnya.

1. Waktu tempuh dari rumah ke sekolah dimodelkan dengan distribusi normal yang memiliki rata-rata $25 \text{ menit}$ dan simpangan baku $5 \text{ menit}$. Tentukan waktu tempuh harapannya.

2. Suhu udara harian di Jakarta selama Juni dimodelkan dengan distribusi normal yang memiliki rata-rata $28^\circ\text{C}$ dan simpangan baku $3^\circ\text{C}$. Berapa suhu harapan pada hari yang dipilih secara acak?

3. Nilai ujian fisika siswa kelas $12$ dimodelkan dengan distribusi normal yang memiliki rata-rata $78$ dan simpangan baku $12$. Berapa nilai harapan siswa yang dipilih secara acak?

Kunci Jawaban

1. Penyelesaian Soal 1:

   Diketahui: $\mu = 25 \text{ menit}$, $\sigma = 5 \text{ menit}$

   Karena distribusi normal memiliki sifat $E(X) = \mu$, maka:

   $$E(X) = 25 \text{ menit}$$

   Jawaban: Nilai harapan waktu tempuh perjalanan adalah $25 \text{ menit}$.

2. Penyelesaian Soal 2:

   Diketahui: $\mu = 28^\circ\text{C}$, $\sigma = 3^\circ\text{C}$

   Menggunakan sifat dasar distribusi normal:

   $$E(X) = \mu = 28^\circ\text{C}$$

   Jawaban: Nilai harapan suhu udara adalah $28^\circ\text{C}$.

3. Penyelesaian Soal 3:

   Diketahui: $\mu = 78$, $\sigma = 12$

   Untuk peubah acak berdistribusi normal, berlaku $E(X)=\mu$. Jadi:

   $$E(X) = \mu = 78$$

   Jawaban: Nilai harapan ujian siswa adalah $78$.