Deret Geometri Tak Hingga

Bola Memantul

Bayangkan kamu menjatuhkan bola tenis dari ketinggian $1 \text{ meter}$ . Dalam model ideal, setiap pantulan mencapai $\frac{1}{4}$ dari tinggi sebelumnya.

Tinggi awal saat bola dilepas, diikuti tinggi setiap pantulan, membentuk barisan geometri:

1, \quad 1 \times \frac{1}{4}, \quad (1 \times \frac{1}{4}) \times \frac{1}{4}, \quad \dots

Dengan suku pertama ( $a$ ) adalah $1$ dan rasio ( $r$ ) adalah $\frac{1}{4}$ .

Berapa total panjang lintasan yang ditempuh bola sejak dilepas sampai akhirnya berhenti?

Dalam model ideal, bola bergerak turun, lalu naik, turun lagi, dan seterusnya tanpa pantulan terakhir. Semua lintasan turun dan naik membentuk deret geometri tak hingga. Jumlah deret tersebut memberikan total panjang lintasan bola.

Syarat Rasio untuk Kekonvergenan

Deret matematis ini tidak memiliki pantulan terakhir. Namun, jumlah parsialnya dapat mendekati satu nilai berhingga. Pada deret geometri, hal ini terjadi ketika nilai mutlak rasio $r$ kurang dari $1$ .

|r| < 1 \quad \text{atau} \quad -1 < r < 1

Deret seperti ini disebut konvergen, artinya jumlah parsialnya mendekati satu nilai berhingga. Dalam contoh bola, $r = \frac{1}{4}$ , dan karena $-1 < \frac{1}{4} < 1$ , deretnya konvergen.

Jika $|r| \ge 1$ dan $a\ne0$ , suku-sukunya tidak mendekati nol, sehingga deretnya divergen. Jumlah parsialnya dapat bertambah tanpa batas, berkurang tanpa batas, atau berosilasi. Divergen berarti tidak ada limit berhingga. Hasilnya tidak selalu $+\infty$ atau $-\infty$ .

Menghitung Jumlah Deret Tak Hingga

Bagaimana cara menghitung jumlah deret tak hingga yang konvergen? Kita mulai dari rumus jumlah $n$ suku pertama deret geometri:

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

Untuk deret tak hingga, kita mengamati $S_n$ ketika $n$ terus membesar. Jika deretnya konvergen ( $-1 < r < 1$ ), maka $r^n$ mendekati nol ketika $n$ mendekati tak hingga. Contohnya, $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$ , $(\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$ , dan $(\frac{1}{4})^{10} \approx 0{,}00000095$ . Semakin besar $n$ , semakin dekat $(\frac{1}{4})^n$ ke $0$ .

Jadi, untuk $n \to \infty$ dan $-1 < r < 1$ , kita punya $r^n \to 0$ . Rumusnya menjadi:

\begin{aligned} S_\infty &= \lim_{n \to \infty} S_n \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \\ &= \frac{a(1 - 0)}{1 - r} \end{aligned}

Sehingga, rumus jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen adalah:

S_\infty = \frac{a}{1 - r}

Keterangan:

$S_\infty$ = jumlah deret tak hingga
$a$ = suku pertama
$r$ = rasio, dengan $-1<r<1$

Pemeriksaan dengan Jarak yang Terus Dibagi Dua

Perhatikan deret:

1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots

Di sini $a=1$ dan $r=\frac12$ , sehingga:

S_\infty=\frac{1}{1-1/2}=2

Tidak ada jumlah parsial berhingga yang tepat sama dengan $2$ , tetapi jumlah parsialnya dapat dibuat sedekat apa pun dengan $2$ . Jumlah tak hingga adalah limit dari jumlah-jumlah parsial berhingga tersebut.

Menghitung Total Lintasan

Kita bisa menghitung total lintasan bola menggunakan rumus $S_\infty$ . Ada dua bagian lintasan:

Lintasan Turun: Bola jatuh dari ketinggian $a$ , lalu jatuh lagi setelah pantulan pertama ( $ar$ ), jatuh lagi setelah pantulan kedua ( $ar^2$ ), dan seterusnya.
- Deret turun: $a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots$
- Suku pertama ( $a_{\downarrow}$ ) adalah $a$
- Rasio ( $r_{\downarrow}$ ) adalah $r$
- Jumlah lintasan turun: $S_{\downarrow}=\frac{a_{\downarrow}}{1-r_{\downarrow}}=\frac{a}{1-r}$
Lintasan Naik: Bola naik setelah pantulan pertama ( $ar$ ), naik lagi setelah pantulan kedua ( $ar^2$ ), dan seterusnya.
- Deret naik: $ar + ar^2 + ar^3 + \dots$
- Suku pertama ( $a_{\uparrow}$ ) adalah $ar$
- Rasio ( $r_{\uparrow}$ ) adalah $r$
- Jumlah lintasan naik: $S_{\uparrow}=\frac{a_{\uparrow}}{1-r_{\uparrow}}=\frac{ar}{1-r}$

Panjang lintasan total adalah jumlah seluruh lintasan turun ditambah seluruh lintasan naik.

\begin{aligned} \text{Total} &= S_{\downarrow} + S_{\uparrow} \\ &= \frac{a}{1 - r} + \frac{ar}{1 - r} \end{aligned}

Untuk contoh bola tenis dengan $a = 1 \text{ meter}$ dan $r = \frac{1}{4}$ :

\begin{aligned}\text{Total} &= \frac{1(1 + \frac{1}{4})}{1 - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{1(\frac{5}{4})}{\frac{3}{4}} \\ &= \frac{5/4}{3/4} \\ &= \frac{5}{4} \times \frac{4}{3} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

Jadi, model tersebut menghasilkan total panjang lintasan $\frac{5}{3} \text{ meter}$ .

Ini adalah model matematika ideal. Bola nyata tidak menyelesaikan tak hingga banyaknya pantulan yang dapat diukur, dan rasio pantulannya tidak benar-benar konstan.

Cara Menghitung yang Kedua: Total lintasan juga dapat dihitung sebagai lintasan turun pertama ditambah $2 \text{ kali}$ jumlah semua lintasan naik.

\begin{aligned} \text{Total} &= a + 2 \times S_{\uparrow} \\ &= a + 2 \times \left( \frac{ar}{1 - r} \right) \end{aligned}

Kedua cara memberi hasil yang sama.

Latihan dengan Deret Berselang

Tentukan jumlah deret berikut:

12-6+3-\frac32+\cdots

Di sini $a=12$ dan $r=-\frac12$ . Karena $|r|<1$ , deretnya konvergen:

S_\infty=\frac{12}{1-(-1/2)}=8

Rasio negatif membuat tanda suku berganti-ganti, tetapi nilai mutlaknya mengecil cukup cepat sehingga jumlah parsialnya mendekati $8$ .