Deret Geometri Tak Hingga

Bola Memantul

Bayangkan kamu melempar sebuah bola tenis dari ketinggian $1 \text{ meter}$. Bola itu akan memantul, tapi setiap pantulan tingginya hanya $\frac{1}{4}$ dari tinggi pantulan sebelumnya.

Ketinggian pantulan bola ini membentuk sebuah barisan geometri:

Dengan suku pertama ($a$) adalah $1$ dan rasio ($r$) adalah $\frac{1}{4}$.

Sekarang, coba pikirkan: berapa total panjang lintasan yang ditempuh bola itu dari awal dilempar sampai akhirnya berhenti?

Bola bergerak turun, lalu naik, turun lagi, naik lagi, dan seterusnya, sampai berhenti. Panjang lintasannya adalah jumlah dari semua lintasan turun dan semua lintasan naik. Karena bola terus memantul (meskipun makin rendah), kita menjumlahkan tak hingga banyaknya lintasan. Inilah yang disebut Deret Geometri Tak Hingga.

Kapan Deretnya Berhenti?

Secara logika, bola akhirnya akan berhenti memantul, kan? Ini terjadi karena tinggi pantulannya semakin kecil dan mendekati nol. Dalam matematika, ini terjadi jika nilai mutlak dari rasio ($r$) kurang dari $1$.

Deret seperti ini disebut konvergen, artinya jumlahnya menuju suatu nilai tertentu (tidak tak hingga). Dalam contoh bola, $r = \frac{1}{4}$, dan karena $-1 < \frac{1}{4} < 1$, deretnya konvergen. Bola itu akan berhenti dan total lintasannya bisa dihitung.

Jika $|r| \ge 1$ (yaitu $r \ge 1$ atau $r \le -1$), tinggi pantulan tidak akan mengecil atau malah membesar. Deretnya disebut divergen, dan jumlahnya tak hingga ($\pm \infty$).

Menghitung Jumlah Deret Tak Hingga

Bagaimana cara menghitung jumlah deret tak hingga yang konvergen? Kita mulai dari rumus jumlah $n$ suku pertama deret geometri:

Untuk deret tak hingga, kita mencari nilai $S_n$ saat $n$ sangat besar (mendekati tak hingga). Jika deretnya konvergen ($-1 < r < 1$ ), maka nilai $r^n$ akan mendekati 0 saat $n$ mendekati tak hingga. Contoh: $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$, $(\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$ , $(\frac{1}{4})^{10} \approx 0.00000095$. Semakin besar $n$ , $(\frac{1}{4})^n$ semakin dekat ke $0$.

Jadi, untuk $n \to \infty$ dan $-1 < r < 1$, kita punya $r^n \to 0$. Rumusnya menjadi:

Sehingga, rumus jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen adalah:

Dimana: * $S_\infty$ = Jumlah deret tak hingga * $a$ = Suku pertama * $r$ = Rasio ($-1 < r < 1$)

Menghitung Total Lintasan

Kita bisa menghitung total lintasan bola menggunakan rumus $S_\infty$. Ada dua bagian lintasan:

1. Lintasan Turun: Bola jatuh dari ketinggian $a$, lalu jatuh lagi setelah pantulan pertama ($ar$), jatuh lagi setelah pantulan kedua ($ar^2$), dan seterusnya.

   • Deret turun: $a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots$
   • Suku pertama ($a_d$) adalah $a$
   • Rasio ($r_d$) adalah $r$
   • Jumlah lintasan turun: $S_{\text{turun}} = \frac{a_d}{1 - r_d} = \frac{a}{1 - r}$

2. Lintasan Naik: Bola naik setelah pantulan pertama ($ar$), naik lagi setelah pantulan kedua ($ar^2$), dan seterusnya.

   • Deret naik: $ar + ar^2 + ar^3 + \dots$
   • Suku pertama ($a_n$) adalah $ar$
   • Rasio ($r_n$) adalah $r$
   • Jumlah lintasan naik: $S_{\text{naik}} = \frac{a_n}{1 - r_n} = \frac{ar}{1 - r}$

Untuk contoh bola tenis dengan $a = 1 \text{ meter}$ dan $r = \frac{1}{4}$:

Jadi, total panjang lintasan bola sampai berhenti adalah $\frac{5}{3} \text{ meter}$.

Cara Lain (Mengikuti Hint): Total lintasan juga bisa dihitung sebagai: lintasan jatuh pertama ditambah $2 \text{ kali}$ jumlah semua lintasan naik.

Hasilnya sama!