Deret Geometri

Menghitung Total Bibit dari Pola Bulanan

Misalkan sebuah persemaian menyiapkan bibit baru setiap bulan mengikuti pola ideal berikut:

Bulan	Januari	Februari	Maret	April	Mei
Bibit baru yang disiapkan	$4$	$12$	$36$	$108$	$324$

Jumlah bibit yang disiapkan tiap bulan membentuk barisan geometri. Penjumlahan seluruh bibit baru dari bulan pertama hingga bulan tertentu membentuk deret geometri. Karena setiap kelompok merupakan bibit yang baru disiapkan, penjumlahan ini tidak menghitung bibit yang sama dua kali.

Deret geometri adalah jumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Pada barisan tersebut, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan faktor tetap $r$ . Jika suku sebelumnya tidak nol, faktor ini juga merupakan hasil bagi kedua suku berurutan tersebut.

Pada data bibit tersebut:

Suku pertama ( $a$ atau $U_1$ ) adalah $4$ .
Rasio $(r) = \frac{12}{4} = \frac{36}{12} = \frac{108}{36} = \frac{324}{108} = 3$ .

Jadi, barisan jumlah bibit bulanannya adalah $4, 12, 36, 108, 324$ . Deret geometrinya adalah jumlahan suku-suku barisan tersebut:

Jumlah $2 \text{ bulan}$ pertama $(S_2) = 4 + 12 = 16$
Jumlah $3 \text{ bulan}$ pertama $(S_3) = 4 + 12 + 36 = 52$
Jumlah $4 \text{ bulan}$ pertama $(S_4) = 4 + 12 + 36 + 108 = 160$
dan seterusnya.

Menemukan Rumus Jumlah Suku Pertama

Bagaimana cara menghitung jumlah $n$ suku pertama $(S_n)$ tanpa menjumlahkannya satu per satu? Perhitungan berikut menurunkan rumus tersebut.

Perhatikan tabel ini yang menunjukkan proses menemukan kembali rumus jumlah deret geometri:

Notasi	Penjumlahan Langsung	Menggunakan $U_{n+1}$ dan $U_1$	Bentuk Umum
$S_2$	$4 + 12 = 16$	$S_2 = \frac{36 - 4}{3 - 1} = \frac{32}{2} = 16$	$S_2 = \frac{U_3 - U_1}{r - 1}$
$S_3$	$4 + 12 + 36 = 52$	$S_3 = \frac{108 - 4}{3 - 1} = \frac{104}{2} = 52$	$S_3 = \frac{U_4 - U_1}{r - 1}$
$S_4$	$4 + 12 + 36 + 108 = 160$	$S_4 = \frac{324 - 4}{3 - 1} = \frac{320}{2} = 160$	$S_4 = \frac{U_5 - U_1}{r - 1}$
$\vdots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$S_n$	$\dots$	$\dots$	$S_n = \frac{U_{n+1} - U_1}{r - 1}$

Untuk $r\ne1$ , bagian kanan bawah tabel memberikan bentuk umum:

S_n = \frac{U_{n+1} - U_1}{r - 1}

Kita tahu bahwa rumus suku ke- $n$ pada barisan geometri adalah $U_n = ar^{n-1}$ . Maka, $U_{n+1} = ar^{(n+1)-1} = ar^n$ . Substitusikan $U_{n+1} = ar^n$ dan $U_1 = a$ ke dalam rumus $S_n$ :

S_n = \frac{ar^n - a}{r - 1}

Ini adalah rumus jumlah $n$ suku pertama deret geometri.

Hasil yang sama dapat diturunkan dengan mengalikan jumlah tersebut dengan $r$ , lalu mengurangkan hasil kali itu dari jumlah tersebut:

S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}

Suku-suku di bagian tengah saling menghapus. Inilah alasan rumus akhirnya hanya memuat suku pertama dan pangkat sesudah suku terakhir.

Rumus Deret Geometri

Secara umum, rumus untuk menghitung jumlah $n$ suku pertama deret geometri adalah:

S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1},\quad r\ne1

Bentuk yang setara adalah

S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r},\quad r\ne1

Kedua bentuk berlaku untuk rasio positif maupun negatif selama $r\ne1$ . Jika $r=1$ , semua suku sama dengan $a$ , sehingga:

S_n=na

Keterangan:

$S_n$ = jumlah $n$ suku pertama
$a$ = suku pertama $(U_1)$
$r$ = rasio $(r \neq 1)$
$n$ = banyaknya suku

Menghitung Total Produksi Sepeda

Dalam rencana produksi sederhana tahun $2020$ , jumlah sepeda yang baru diproduksi sebuah perusahaan setiap bulan membentuk barisan geometri. Produksi Januari sebanyak $120 \text{ unit}$ , sedangkan produksi April mencapai $3{.}240 \text{ unit}$ . Berapa total produksi dari Januari sampai Mei?

Penyelesaian:

Produksi Januari $(U_1) = a = 120$
Produksi April $(U_4) = 3{.}240$
Ditanya: Total produksi hingga Mei $(S_5)$

Langkah 1: Cari rasio $(r)$

U_4 = ar^{4-1} = ar^3

Langkah 2: Hitung $S_5$ Karena $r = 3 > 1$ , gunakan rumus:

S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}

Jadi, total hasil produksi sepeda hingga bulan Mei adalah $14{.}520 \text{ unit}$ .

Penjumlahan ini bermakna karena setiap nilai bulanan menyatakan sepeda yang baru diproduksi. Jika yang dijumlahkan adalah pengukuran berulang atas persediaan yang sama, benda yang sama justru akan terhitung lebih dari sekali.

Latihan dengan Rasio Negatif

Hitung jumlah berhingga berikut:

81-27+9-3+1

Suku pertamanya $a=81$ , rasionya $r=-\frac13$ , dan banyak sukunya $n=5$ . Jadi:

S_5=81\left(\frac{1-(-1/3)^5}{1-(-1/3)}\right)

Periksa dengan penjumlahan langsung: $81-27+9-3+1=61$ .