Perbedaan Deret Aritmetika dan Geometri

Deret Aritmetika

Konsep dasar:

Deret aritmetika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. Ingat, barisan aritmetika itu yang punya selisih (beda) tetap antar sukunya ( $b$ ).

Jadi, kita menjumlahkan suku-suku yang polanya: $a, a+b, a+2b, a+3b, \dots$ .

Jumlah $n$ suku pertama ( $S_n$ ) dari deret aritmetika bisa dihitung dengan rumus:

S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)

Rumus yang setara adalah:

S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)

Pada rumus ini, $a$ adalah suku pertama dan $U_n$ adalah suku ke- $n$ .

Bayangkan kamu menumpuk batu bata. Lapisan pertama memiliki $1$ bata, lapisan kedua memiliki $3$ bata, lapisan ketiga memiliki $5$ bata, dan seterusnya (beda $= 2$ ). Deret aritmetika adalah total jumlah batu bata yang kamu perlukan untuk membuat tumpukan setinggi $n$ lapis.

Deret Geometri

Konsep dasar:

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Ingat, barisan geometri itu yang punya rasio tetap antar sukunya ( $r$ ).

Jadi, kita menjumlahkan suku-suku yang polanya: $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ .

Jumlah $n$ suku pertama ( $S_n$ ) dari deret geometri bisa dihitung dengan rumus:

S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}

Rumus ini berlaku untuk $r \neq 1$ . Pada rumus tersebut, $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio.

Jika $r=1$ , setiap suku sama dengan $a$ , sehingga jumlah untuk kasus khusus ini adalah:

S_n=na

Misalkan sebuah bengkel menghasilkan $1$ , lalu $2$ , lalu $4$ komponen baru pada jam-jam berturut-turut. Hasil produksi per jam memiliki rasio $r=2$ . Deret geometri memberi jumlah kumulatif komponen baru yang diproduksi selama $n \text{ jam}$ . Dalam pertama, bengkel tersebut menghasilkan total .

Deret Aritmetika dan Deret Geometri

Tabel menempatkan kedua rumus jumlah berdampingan, sehingga suku yang dijumlahkan dan rumus yang dihasilkan bisa dibandingkan baris demi baris.

Fitur	Deret Aritmetika	Deret Geometri
Dasar	Penjumlahan suku barisan aritmetika (beda $b$ )	Penjumlahan suku barisan geometri (rasio $r$ )

Menghitung Jumlah Aritmetika dan Geometri

Untuk deret aritmetika:

5+8+11+14+17

Deret tersebut memiliki beda $b=3$ . Jumlah lima suku pertamanya adalah:

S_5=\frac52(5+17)=55

Untuk deret geometri:

5+10+20+40+80

Deret tersebut memiliki rasio $r=2$ . Jumlah lima suku pertamanya adalah:

S_5=5\frac{2^5-1}{2-1}=155

Pola Suku dan Jumlah Parsial

Suku-suku deret aritmetika berubah secara linear terhadap indeksnya, sedangkan jumlah parsialnya umumnya berubah secara kuadratik. Suku-suku deret geometri berubah secara eksponensial, sedangkan jumlah parsial berhingganya mengikuti rumus jumlah deret geometri.

Jadi, nama suatu deret berasal dari pola barisan sukunya. Jumlah parsial $S_1,S_2,S_3,\ldots$ dapat mengikuti pola yang berbeda.

Latihan

Klasifikasikan setiap deret dan hitung jumlahnya. Tentukan jenis deret itu dari pola suku-sukunya, lalu pakai rumus jumlah yang sesuai. Kedua deret cukup pendek untuk memeriksa hasil rumus dengan penjumlahan langsung.

$30+25+20+15+10$
$2+6+18+54+162$

Penyelesaian

Deret pertama merupakan deret aritmetika dengan $b=-5$ . Deret kedua merupakan deret geometri dengan $r=3$ :

S_5=\frac52(30+10)=100