Argumen Utama Bilangan Kompleks

Sudut-sudut Berbeda yang Menunjukkan Arah Sama

Argumen $\theta$ dari bilangan kompleks tak nol $z = x + iy$ adalah sudut yang dibentuk vektor $z$ terhadap sumbu riil positif. Vektor nol tidak memiliki arah, sehingga $\text{Arg}(0)$ tidak terdefinisi.

Arah yang sama dapat dinyatakan dengan tak hingga banyak sudut koterminal.

Jika $\theta$ adalah argumen dari $z$, maka $\theta + 2\pi k$ (dengan $k$ bilangan bulat: $0, \pm 1, \pm 2, \ldots$) juga merupakan argumen dari $z$, karena menambahkan kelipatan $360^\circ$ atau $2\pi$ radian akan menghasilkan sudut yang sama pada bidang kompleks.

Contohnya:

sudut $45^\circ$, $405^\circ$ ($45^\circ + 360^\circ$), dan $-315^\circ$ ($45^\circ - 360^\circ$) semuanya menunjukkan arah yang sama.

Satu bilangan kompleks memiliki tak hingga banyak argumen. Untuk memilih satu nilai yang unik, kita tetapkan argumen utama pada interval tertentu.

Definisi Argumen Utama

Untuk bilangan kompleks tak nol $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$ dengan $r>0$, argumen utama $\operatorname{Arg}(z)$ adalah satu-satunya sudut $\theta$ yang dipilih dari $(-\pi, \pi]$. Dalam satuan derajat, konvensi yang sama ditulis sebagai:

Sebagian referensi memakai $[0, 2\pi)$. Kedua konvensi memilih satu sudut untuk mewakili semua sudut koterminal. Semua contoh berikut memakai $(-\pi, \pi]$ secara konsisten.

Menentukan Argumen Utama

Tentukan salah satu argumen terlebih dahulu, lalu tambahkan atau kurangkan putaran penuh sampai hasilnya berada dalam $(-\pi, \pi]$ atau $(-180^\circ, 180^\circ]$. Sudut $300^\circ$ berada di luar kedua selang itu, dan menguranginya dengan satu putaran penuh menghasilkan $-60^\circ$ sebagai argumen utamanya.

Mencari Argumen Utama

1. Tentukan Argumen Utama dari $z = 1 + i$

   Titik $(1, 1)$ berada di Kuadran $I$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{1} = 1$$

   $$\theta = \arctan(1) = 45^\circ$$

   Karena $45^\circ$ sudah berada dalam $(-180^\circ, 180^\circ]$, Argumen Utamanya adalah:

   $$\text{Arg}(z) = 45^\circ \text{ atau } \frac{\pi}{4} \text{ radian}$$

2. Tentukan Argumen Utama dari $z = \sqrt{3} + i$

   Titik $(\sqrt{3}, 1)$ berada di Kuadran $I$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

   $$\theta = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ$$

   Karena $30^\circ$ sudah berada dalam $(-180^\circ, 180^\circ]$, Argumen Utamanya adalah:

   $$\text{Arg}(z) = 30^\circ \text{ atau } \frac{\pi}{6} \text{ radian}$$

Kesamaan Dua Bilangan Kompleks dalam Bentuk Polar

Dua bilangan kompleks tak nol $z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)$ dan $z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)$, dengan $r_1>0$ dan $r_2>0$, dikatakan sama jika dan hanya jika:

1. Modulusnya sama:

   $r_1 = r_2$ (atau $|z_1| = |z_2|$)

2. Argumennya sama atau berbeda kelipatan $2\pi$ (atau $360^\circ$):

   $\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi$ atau $\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi$ untuk suatu bilangan bulat $k$.

Jika kita menggunakan Argumen Utama dalam $(-\pi, \pi]$, syarat kedua menjadi $\text{Arg}(z_1) = \text{Arg}(z_2)$.

Pengecekan Kesamaan

Tentukan apakah pasangan bilangan kompleks berikut sama atau berbeda?

1. $z_1 = \sqrt{2}(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)$ dan $z_2 = \sqrt{2}(\cos 95^\circ + i\sin 95^\circ)$
2. $z_1 = \cos 30^\circ + i\sin 30^\circ$ dan $z_2 = \cos 390^\circ + i\sin 390^\circ$

Penyelesaian:

1. Perhatikan:

   • Modulus: $|z_1| = \sqrt{2}$ dan $|z_2| = \sqrt{2}$. (Sama)
   • Argumen Utama: $\text{Arg}(z_1) = 45^\circ$ dan $\text{Arg}(z_2) = 95^\circ$. (Berbeda)

   Karena argumen utamanya berbeda ($45^\circ \neq 95^\circ$), maka $z_1 \neq z_2$.

2. Perhatikan:

   • Modulus: $|z_1| = 1$ dan $|z_2| = 1$. (Sama)
   • Argumen: $\theta_1 = 30^\circ$ dan $\theta_2 = 390^\circ$.
   • Selisih argumen: $\theta_1 - \theta_2 = 30^\circ - 390^\circ = -360^\circ$.

   Karena selisih argumennya adalah kelipatan $360^\circ$ ($-360^\circ = -1 \times 360^\circ$), maka $z_1 = z_2$.

   Atau, kita bisa lihat bahwa Argumen Utama $z_2$ adalah $390^\circ - 360^\circ = 30^\circ$, yang sama dengan Argumen Utama $z_1$.

Latihan

Tentukan Argumen Utama (dalam derajat) untuk bilangan kompleks berikut. Mulailah dari tanda bagian real dan bagian imajiner, karena kedua tanda itulah yang menentukan kuadran sebelum kamu memakai fungsi trigonometri invers.

1. $1 + \sqrt{3}i$
2. $-i$

Pembahasan

1. Untuk $z = 1 + \sqrt{3}i$:

   Titik $(1, \sqrt{3})$ ada di Kuadran $I$.

   $$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$$

   $$\theta = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$$

   Karena $60^\circ \in (-180^\circ, 180^\circ]$, $\text{Arg}(z) = 60^\circ$.

2. Untuk $z = -i$:

   Tuliskan sebagai $z = 0 - 1i$. Titik $(0, -1)$ tepat berada pada sumbu imajiner negatif, sehingga kita tidak perlu membagi dengan $x=0$.

   $$\text{Arg}(z) = -90^\circ = -\frac{\pi}{2}$$