Sifat Penjumlahan Bilangan Kompleks

Menyusun Ulang Ekspresi Tanpa Mengubah Nilainya

Penjumlahan dan perkalian skalar pada bilangan kompleks mengikuti aturan aljabar yang sama seperti pada bilangan real. Dengan aturan tersebut, ekspresi dapat disusun ulang dan disederhanakan tanpa mengubah nilai ekspresi.

Misalkan $z_1$, $z_2$, dan $z_3$ adalah bilangan kompleks sembarang, serta $c$ dan $d$ adalah skalar (bilangan real) sembarang.

Penjumlahan

Penjumlahan bilangan kompleks mempertahankan sifat penjumlahan bilangan real yang sudah dikenal, dan setiap pemeriksaannya berjalan terpisah pada bagian real dan bagian imajiner. Memecah satu penjumlahan menjadi dua penjumlahan real itulah yang membuat pembuktiannya singkat.

Komutatif

Urutan penjumlahan tidak penting, hasilnya tetap sama.

Contoh: $(2+i) + (1-3i) = (1-3i) + (2+i) = 3-2i$

Asosiatif Penjumlahan

Saat menjumlahkan tiga bilangan kompleks, pengelompokan penjumlahannya tidak memengaruhi hasil.

Elemen Identitas

Ada bilangan kompleks $0 = 0 + 0i$ (nol) yang jika dijumlahkan dengan bilangan kompleks $z_1$ mana pun, hasilnya adalah $z_1$ itu sendiri.

Elemen Invers

Setiap bilangan kompleks $z_1 = x + iy$ punya invers penjumlahan (lawan), yaitu $-z_1 = -x - iy$, sehingga jika dijumlahkan hasilnya adalah elemen nol ($0$).

Contoh:

Jika $z_1 = 5-2i$, maka $-z_1 = -5+2i$.

Maka $(5-2i) + (-5+2i) = (5-5) + i(-2+2) = 0 + 0i = 0$.

Perkalian Skalar

Perkalian dengan skalar real mengikuti kelompok sifat yang sama, jadi pemeriksaannya juga sama dengan satu faktor real. Skalar memperlakukan bagian real dan bagian imajiner dengan cara yang sama, dan itulah alasan sifat distributif serta skalar nol tetap berlaku.

Asosiatif Perkalian

Pengelompokan perkalian skalar tidak memengaruhi hasil.

Distributif Skalar

Mengalikan bilangan kompleks dengan jumlah dua skalar setara dengan mengalikannya dengan setiap skalar, lalu menjumlahkan hasilnya.

Distributif Kompleks

Skalar bisa didistribusikan terhadap penjumlahan bilangan kompleks.

Identitas Skalar

Mengalikan bilangan kompleks dengan skalar $1$ tidak mengubah bilangan kompleks tersebut.

Skalar Nol

Mengalikan bilangan kompleks dengan skalar $0$ menghasilkan bilangan kompleks nol.

Menyederhanakan Ekspresi dengan Sifat Penjumlahan

Sifat distributif memungkinkanmu mengalikan skalar ke dalam penjumlahan suku demi suku, dan koefisien yang sama dengan tanda berlawanan lalu saling menghapus. Kedua langkah itu tidak mengubah bagian real maupun bagian imajiner, sehingga identitas yang dibangun dari keduanya berlaku untuk setiap bilangan kompleks.

Membuktikan Invers Penjumlahan

Tunjukkan bahwa untuk sembarang bilangan kompleks $z$, berlaku $4z + (-4)z = 0$.

Penyelesaian:

Gunakan sifat distributif untuk menggabungkan koefisien skalarnya, lalu gunakan fakta bahwa perkalian dengan skalar nol menghasilkan nol.

Gunakan sifat distributif:

Perkalian dengan skalar nol memberikan:

Jadi, terbukti bahwa $4z + (-4)z = 0$.

Latihan

Dengan menggunakan sifat penjumlahan, buktikan bahwa $3z - \frac{1}{2}(2z) = 2z$ untuk sembarang bilangan kompleks $z$. Kerjakan ruas kiri saja, lalu sebutkan sifat yang kamu pakai pada setiap langkah agar pembuktiannya mencakup setiap bilangan kompleks.

Pembahasan

Tuliskan pengurangan sebagai penjumlahan dengan lawannya:

Kelompokkan kembali faktor skalarnya:

Kalikan faktor skalarnya:

Gunakan sifat distributif:

Jadi, terbukti bahwa $3z - \frac{1}{2}(2z) = 2z$.