Perkalian Bilangan Kompleks

Sifat Distributif dalam Perkalian Bilangan Kompleks

Mengalikan dua bilangan kompleks mirip seperti mengalikan dua bentuk aljabar binomial. Kita bisa menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Mulailah dengan $z_1 = x_1 + iy_1$ dan $z_2 = x_2 + iy_2$ , lalu distribusikan setiap suku pada faktor pertama ke faktor kedua.

z_1 \times z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2)

Karena $i^2 = -1$ , gantikan suku imajiner kuadrat:

\begin{aligned} &= (x_1x_2 + ix_1y_2) \\ &\quad{}+ (ix_2y_1 + (-1)y_1y_2) \end{aligned}

Selanjutnya, kelompokkan suku real dan suku imajiner:

= (x_1x_2 - y_1y_2) + (ix_1y_2 + ix_2y_1)

Jadi, rumus umum untuk perkalian bilangan kompleks adalah:

\begin{aligned} z_1 \times z_2 &= (x_1x_2 - y_1y_2) \\ &\quad{}+ i(x_1y_2 + x_2y_1) \end{aligned}

Menghitung Hasil Kali dengan Dua Cara

Misalkan $z_1 = 2+i$ dan $z_2 = 1-2i$ . Tentukan $z_1 \times z_2$ .

Penyelesaian:

Menggunakan sifat distributif:

z_1 \times z_2 = (2+i)(1-2i)

Gunakan $i^2=-1$ :

= (2 - 4i) + (i - 2(-1))

Atau menggunakan rumus umum dengan $x_1 = 2, y_1 = 1, x_2 = 1, y_2 = -2$ :

\begin{aligned} z_1 \times z_2 &= (x_1x_2 - y_1y_2) \\ &\quad{}+ i(x_1y_2 + x_2y_1) \end{aligned}

Kedua cara memberikan hasil yang sama, yaitu $4-3i$ .

Visualisasi Perkalian Bilangan Kompleks

Visualisasi dari

z_1 = 2+i

z_2 = 1-2i

, dan hasil perkaliannya

z_1 \times z_2 = 4-3i

Latihan

Soal ini mengalikan dua bilangan kompleks, satu berbentuk biasa dan satu dengan bagian real berupa pecahan. Jabarkan hasil kalinya memakai sifat distributif, ganti $i^2$ dengan $-1$ , lalu kumpulkan bagian real dan bagian imajiner.

Misalkan $z_1 = 1+i$ dan $z_2 = \frac{1}{2} - 2i$ . Tentukan $z_1 \times z_2$ .

Pembahasan

Menggunakan sifat distributif:

z_1 \times z_2 = (1+i)(\frac{1}{2} - 2i)

Menggunakan rumus umum dengan $x_1 = 1, y_1 = 1, x_2 = \frac{1}{2}, y_2 = -2$ :

\begin{aligned} z_1 \times z_2 &= (x_1x_2 - y_1y_2) \\ &\quad{}+ i(x_1y_2 + x_2y_1) \end{aligned}

Sifat Distributif dalam Perkalian Bilangan Kompleks

Mengalikan dua bilangan kompleks mirip seperti mengalikan dua bentuk aljabar binomial. Kita bisa menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Mulailah dengan $z_1 = x_1 + iy_1$ dan $z_2 = x_2 + iy_2$ , lalu distribusikan setiap suku pada faktor pertama ke faktor kedua.

z_1 \times z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2)

Karena $i^2 = -1$ , gantikan suku imajiner kuadrat:

\begin{aligned} &= (x_1x_2 + ix_1y_2) \\ &\quad{}+ (ix_2y_1 + (-1)y_1y_2) \end{aligned}

Selanjutnya, kelompokkan suku real dan suku imajiner:

= (x_1x_2 - y_1y_2) + (ix_1y_2 + ix_2y_1)

Jadi, rumus umum untuk perkalian bilangan kompleks adalah:

\begin{aligned} z_1 \times z_2 &= (x_1x_2 - y_1y_2) \\ &\quad{}+ i(x_1y_2 + x_2y_1) \end{aligned}

Menghitung Hasil Kali dengan Dua Cara

Misalkan $z_1 = 2+i$ dan $z_2 = 1-2i$ . Tentukan $z_1 \times z_2$ .

Penyelesaian:

Menggunakan sifat distributif:

z_1 \times z_2 = (2+i)(1-2i)

Gunakan $i^2=-1$ :

= (2 - 4i) + (i - 2(-1))

Atau menggunakan rumus umum dengan $x_1 = 2, y_1 = 1, x_2 = 1, y_2 = -2$ :

\begin{aligned} z_1 \times z_2 &= (x_1x_2 - y_1y_2) \\ &\quad{}+ i(x_1y_2 + x_2y_1) \end{aligned}

Kedua cara memberikan hasil yang sama, yaitu $4-3i$ .

Visualisasi Perkalian Bilangan Kompleks

Visualisasi dari

z_1 = 2+i

z_2 = 1-2i

, dan hasil perkaliannya

z_1 \times z_2 = 4-3i

Latihan

Misalkan $z_1 = 1+i$ dan $z_2 = \frac{1}{2} - 2i$ . Tentukan $z_1 \times z_2$ .

Pembahasan

Menggunakan sifat distributif:

z_1 \times z_2 = (1+i)(\frac{1}{2} - 2i)

Menggunakan rumus umum dengan $x_1 = 1, y_1 = 1, x_2 = \frac{1}{2}, y_2 = -2$ :

\begin{aligned} z_1 \times z_2 &= (x_1x_2 - y_1y_2) \\ &\quad{}+ i(x_1y_2 + x_2y_1) \end{aligned}