Modulus dan Argumen Bilangan Kompleks

Panjang dan Arah Vektor pada Bidang Kompleks

Bilangan kompleks $z = x + iy$ dapat digambarkan sebagai titik $(x, y)$ pada bidang kompleks (mirip dengan bidang Kartesius). Selain sebagai titik, kita juga bisa melihatnya sebagai vektor yang berawal dari titik pangkal $(0, 0)$ menuju titik $(x, y)$.

Vektor ini memiliki panjang dan arah. Nah, panjang dan arah inilah yang kita sebut sebagai Modulus dan Argumen.

Modulus Bilangan Kompleks

Modulus dari suatu bilangan kompleks $z = x + iy$, ditulis sebagai $|z|$, adalah jarak dari titik pangkal $(0,0)$ ke titik $(x, y)$ pada bidang kompleks. Ini sama saja dengan panjang vektor yang merepresentasikan $z$.

Untuk menghitung modulus, kita bisa menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh bagian riil ($x$), bagian imajiner ($y$), dan modulus ($|z|$) sebagai sisi miringnya.

Definisi Modulus:

Modulus dari bilangan kompleks $z = x + iy$ adalah:

Modulus selalu bernilai non-negatif (tidak pernah negatif) karena merupakan jarak.

Menghitung Modulus

Empat perhitungan berjalan dari tripel Pythagoras melalui pasangan umum sampai ke sumbu real dan imajiner, supaya kamu melihat rumus akar yang sama berlaku di setiap posisi.

1. Tentukan modulus dari $z_1 = 3 + 4i$, dengan $x=3, y=4$

   $$\begin{aligned} |z_1| &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{aligned}$$

2. Tentukan modulus dari $z_2 = -1 - 2i$, dengan $x=-1, y=-2$

   $$\begin{aligned} |z_2| &= \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} \\ &= \sqrt{1 + 4} \\ &= \sqrt{5} \end{aligned}$$

3. Tentukan modulus dari $z_3 = 5$, dengan $x=5, y=0$

   $$|z_3| = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$$

   (Modulus bilangan riil adalah nilai mutlaknya).

4. Tentukan modulus dari $z_4 = -2i$, dengan $x=0, y=-2$

   $$|z_4| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$$

Argumen Bilangan Kompleks

Argumen dari bilangan kompleks $z = x + iy$ (yang tidak nol), ditulis sebagai $\arg(z)$ atau $\theta$, adalah sudut yang dibentuk oleh vektor $z$ dengan sumbu riil positif pada bidang kompleks. Sudut ini biasanya diukur dalam radian atau derajat.

Dari trigonometri dasar pada segitiga siku-siku yang sama seperti pada visualisasi modulus, kita tahu hubungan:

Jika $x$ dan $y$ keduanya tidak nol, hitung dahulu sudut acuan positif:

Rasio $|y/x|$ positif dan berhingga, sehingga sudut acuannya lancip: $0^\circ<\alpha<90^\circ$.

Tanda $x$ dan $y$ menunjukkan kuadrannya. Dari kuadran itu, sudut acuan diubah menjadi Argumen Utama dalam $(-180^\circ, 180^\circ]$:

• Kuadran $I$ ($x>0, y>0$):

  $$\text{Arg}(z) = \alpha$$

• Kuadran $II$ ($x<0, y>0$):

  $$\text{Arg}(z) = 180^\circ - \alpha$$

• Kuadran $III$ ($x<0, y<0$):

  $$\text{Arg}(z) = -180^\circ + \alpha$$

• Kuadran $IV$ ($x>0, y<0$):

  $$\text{Arg}(z) = -\alpha$$

Titik pada sumbu tidak memerlukan hasil bagi $y/x$. Arahnya dapat dibaca langsung:

Menghitung Argumen

Untuk setiap titik, tentukan dulu kuadrannya, lalu hitung sudut acuan $\alpha$ dari $|y/x|$, kemudian terapkan aturan kuadran di atas.

1. Tentukan Argumen Utama dari $z_1 = 1 + i$

   Titik $(1, 1)$ berada di Kuadran $I$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{1} = 1$$

   $$\begin{aligned} \theta &= \arctan(1) \\ &= 45^\circ \text{ atau } \frac{\pi}{4} \text{ radian} \end{aligned}$$

2. Tentukan Argumen Utama dari $z_2 = -\sqrt{3} + i$

   Titik $(-\sqrt{3}, 1)$ berada di Kuadran $II$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{-\sqrt{3}}$$

   $$\begin{aligned} \text{Sudut dasar} &= \arctan\left(\left|\frac{1}{-\sqrt{3}}\right|\right) \\ &= \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \\ &= 30^\circ \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned} \theta &= 180^\circ - 30^\circ \\ &= 150^\circ \text{ atau } \frac{5\pi}{6} \text{ radian} \end{aligned}$$

   Kuadran $II$ berada di atas sumbu riil negatif, sehingga sudut acuannya dikurangkan dari $180^\circ$.

3. Tentukan Argumen Utama dari $z_3 = -1 - i\sqrt{3}$

   Titik $(-1, -\sqrt{3})$ berada di Kuadran $III$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}$$

   $$\text{Sudut dasar} = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$$

   $$\begin{aligned} \text{Arg}(z_3) &= -180^\circ + 60^\circ \\ &= -120^\circ \\ &= -\frac{2\pi}{3} \end{aligned}$$

   Kuadran $III$ berada di bawah sumbu riil negatif, sehingga Argumen Utamanya bernilai negatif.

4. Tentukan Argumen Utama dari $z_4 = 3 - 3i$

   Titik $(3, -3)$ berada di Kuadran $IV$.

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-3}{3} = -1$$

   $$\begin{aligned} \text{Sudut dasar} &= \arctan(|-1|) \\ &= \arctan(1) \\ &= 45^\circ \end{aligned}$$

   $$\text{Arg}(z_4) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4}$$

   Kuadran $IV$ berada di bawah sumbu riil positif, sehingga Argumen Utamanya bernilai negatif.

Latihan

Tentukan modulus dan Argumen Utama (dalam derajat) dari bilangan kompleks berikut. Untuk setiap bilangan, hitung dulu jaraknya dari titik asal, lalu pilih sudut yang berada di dalam $(-180^\circ, 180^\circ]$.

1. $z_a = 2 + 2i$
2. $z_b = -4$
3. $z_c = -i$

Pembahasan

1. Untuk $z_a = 2 + 2i$:

   $x=2, y=2$ (Kuadran $I$) Modulus:

   $$\begin{aligned} |z_a| &= \sqrt{2^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{4+4} \\ &= \sqrt{8} \\ &= 2\sqrt{2} \end{aligned}$$

   Argumen:

   $$\tan\theta=\frac22=1$$

   Titiknya berada di Kuadran $I$, sehingga Argumen Utamanya adalah sudut lancip:

   $$\theta=\arctan(1)=45^\circ$$

2. Untuk $z_b = -4$:

   $z_b = -4 + 0i$. $x=-4, y=0$ (Sumbu riil negatif) Modulus:

   $$|z_b| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$

   Argumen: Titik berada di sumbu riil negatif.

   $$\theta = 180^\circ$$

3. Untuk $z_c = -i$:

   $z_c = 0 - 1i$. $x=0, y=-1$ (Sumbu imajiner negatif) Modulus:

   $$|z_c| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1$$

   Argumen: Titik berada di sumbu imajiner negatif.

   $$\text{Arg}(z_c) = -90^\circ$$