Invers Bilangan Kompleks

Apa itu Invers Bilangan Kompleks?

Setiap bilangan kompleks tak nol $z = x + iy$ memiliki teman "kebalikan" yang disebut invers perkalian (atau invers saja), yang kita tulis sebagai $z^{-1}$ atau $1/z$ .

Ciri khas dari invers perkalian adalah jika kita kalikan bilangan kompleks $z$ dengan inversnya $z^{-1}$ , hasilnya adalah $1$ (elemen identitas perkalian).

z \times z^{-1} = 1

Menemukan Rumus Invers

Kita sudah tahu dari materi sifat perkalian bilangan kompleks bahwa untuk $z = x + iy$ , inversnya adalah:

z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}

Rumus ini bisa juga ditulis sebagai pasangan terurut:

z^{-1} = \left( \frac{x}{x^2+y^2}, -\frac{y}{x^2+y^2} \right)

Ingat juga bentuk lain yang sering berguna, menggunakan konjugat ( $\bar{z} = x-iy$ ) dan modulus ( $|z|^2 = x^2+y^2$ ):

z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}

Contoh Perhitungan Invers

Misalkan diberikan bilangan kompleks $z = 1 - i$ . Tentukan inversnya!

Penyelesaian:

Di sini, $x=1$ dan $y=-1$ .

Menggunakan rumus pertama:

x^2+y^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2

Menggunakan rumus konjugat dan modulus:

\bar{z} = 1 - (-1)i = 1+i

Hasilnya sama, yaitu:

z^{-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \text{ atau} \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)

Visualisasi

z

dan

z^{-1}

Visualisasi dari

z = 1-i

dan inversnya

z^{-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i

. Perhatikan bagaimana posisi mereka relatif terhadap titik asal.

Latihan

Diberikan bilangan kompleks $z_1 = 1-i$ dan $z_2 = 2+3i$ . Tentukan invers dari $z_1 + z_2$ .

Kunci Jawaban

Langkah $1$ : Cari $z_1 + z_2$ .

z = z_1 + z_2 = (1-i) + (2+3i) = (1+2) + (-1+3)i = 3+2i

Langkah $2$ : Cari invers dari $z = 3+2i$ . Di sini $x=3$ dan $y=2$ . Kita gunakan rumus $z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$ .

\bar{z} = 3-2i

Jadi, invers dari $z_1 + z_2$ adalah $\frac{3}{13} - \frac{2}{13}i$ .