Sifat Operasi Modulus Bilangan Kompleks

Modulus pada Negasi dan Konjugasi

Negasi dan konjugasi tidak mengubah modulus suatu bilangan kompleks.

Penjelasan:

Jika $z_1 = x + iy$, maka $-z_1 = -x - iy$ dan $\bar{z_1} = x - iy$.

• $|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$
• $|-z_1| = \sqrt{(-x)^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$
• $|\bar{z_1}| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

Ketiganya menghasilkan nilai yang sama.

Modulus Selisih

Modulus dari selisih dua bilangan kompleks sama urutannya dibalik.

Penjelasan:

Ini adalah akibat langsung dari sifat pertama. Kita tahu $z_1 - z_2 = -(z_2 - z_1)$. Maka:

Kuadrat Modulus

Kuadrat dari modulus suatu bilangan kompleks sama dengan bilangan kompleks tersebut dikalikan dengan konjugatnya.

Penjelasan:

Jika $z_1 = x + iy$, maka $\bar{z_1} = x - iy$.

Kita juga tahu bahwa $|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$, sehingga $|z_1|^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = x^2 + y^2$.

Jadi, kedua sisi sama.

Modulus Hasil Kali

Modulus dari hasil kali dua bilangan kompleks sama dengan hasil kali modulus masing-masing bilangan kompleks.

Sifat ini dapat dibuktikan dengan mengalikan setiap bilangan dengan konjugatnya:

Kedua modulus bernilai tak negatif, sehingga pengambilan akar kuadrat menghasilkan sifat hasil kali.

Modulus Hasil Bagi

Modulus dari hasil bagi dua bilangan kompleks sama dengan hasil bagi modulus masing-masing bilangan kompleks (dengan penyebut tidak nol).

Sifat hasil bagi mengikuti sifat hasil kali karena $z_1=(z_1/z_2)z_2$ ketika $z_2\neq0$.

Ketaksamaan Segitiga

Modulus dari jumlah dua bilangan kompleks kurang dari atau sama dengan jumlah modulus masing-masing bilangan kompleks.

Penjelasan:

Secara geometris, tempatkan vektor $z_1$ dan $z_2$ secara ujung ke pangkal. Vektor langsung dari titik awal ke titik akhir adalah $z_1 + z_2$, dan panjangnya tidak dapat melebihi jumlah dua sisi lainnya, yaitu $|z_1| + |z_2|$.

Ketaksamaan Segitiga Terbalik

Selisih modulus dua bilangan kompleks tidak dapat melebihi jarak antara kedua bilangan tersebut.

Ketaksamaan ini memberi batas bawah bagi suatu jarak atau jumlah. Misalnya, dengan mengganti $z_2$ menjadi $-z_2$, kita memperoleh $\bigl||z_1|-|z_2|\bigr| \leq |z_1+z_2|$.

Penggunaan Sifat Modulus

Misalkan diberikan bilangan kompleks $z = \frac{1 - 2i}{3 + 4i}$. Tentukan $|z|$.

Penyelesaian:

Kita bisa memandang $z = \frac{z_1}{z_2}$ dengan $z_1 = 1 - 2i$ dan $z_2 = 3 + 4i$.

Menggunakan sifat Modulus Hasil Bagi:

Sekarang kita hitung modulus $z_1$ dan $z_2$:

Sehingga,

Sifat hasil bagi menghindari langkah memperluas pecahan dengan konjugat penyebut sebelum menghitung modulus.

Latihan

1. Jika $z_1 = 6 + 8i$ dan $z_2 = 3 - i$, hitunglah $|z_1 \times z_2|$ menggunakan sifat modulus.
2. Jika $z = 5 - 12i$, buktikan bahwa $|z|^2 = z \times \bar{z}$.
3. Jika $|z_1|=3$ dan $|z_2|=5$, tentukan batas nilai yang mungkin untuk $|z_1+z_2|$.

Pembahasan

1. Kita gunakan sifat $|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$.

   Hitung modulus masing-masing:

   $$|z_1| = |6 + 8i| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

   Maka:

   $$|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2| = 10 \times \sqrt{10} = 10\sqrt{10}$$

2. Diketahui $z = 5 - 12i$.

   Hitung sisi kiri ($|z|^2$):

   $$|z| = |5 - 12i| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

3. Ketaksamaan segitiga biasa dan terbalik memberikan batas atas sekaligus batas bawah:

   $$\bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\leq|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$$

Diterbitkan: 1 Mei 2025. Diperbarui: 1 Sep 2026.

Hitung sisi kanan ($z \times \bar{z}$):

Konjugat dari $z$ adalah $\bar{z} = 5 + 12i$.

Karena sisi kiri ($169$) sama dengan sisi kanan ($169$), maka terbukti $|z|^2 = z \times \bar{z}$.

Substitusi kedua modulus menghasilkan $2\leq|z_1+z_2|\leq8$. Nilai tepatnya bergantung pada sudut antara kedua bilangan kompleks tersebut.