Sifat Operasi Modulus Bilangan Kompleks

Pengaruh Operasi pada Modulus

Misalkan $z_1$ dan $z_2$ adalah bilangan kompleks. Modulus mengukur jarak sebuah bilangan dari titik asal, sehingga setiap aturan tentangnya menjawab satu pertanyaan: bagaimana jarak itu berubah ketika bilangan tersebut dinegatifkan, dikonjugatkan, dikurangkan, dikalikan, atau dibagi?

Modulus pada Negasi dan Konjugasi

Negasi dan konjugasi tidak mengubah modulus suatu bilangan kompleks.

|z_1| = |-z_1| = |\bar{z_1}|

Penjelasan:

Jika $z_1 = x + iy$ , maka $-z_1 = -x - iy$ dan $\bar{z_1} = x - iy$ .

$|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$
$|-z_1| = \sqrt{(-x)^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$
$|\bar{z_1}| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

Ketiganya menghasilkan nilai yang sama.

Modulus Selisih

Modulus dari selisih dua bilangan kompleks sama urutannya dibalik.

|z_1 - z_2| = |z_2 - z_1|

Penjelasan:

Ini adalah akibat langsung dari sifat $|-z| = |z|$ . Kita tahu $z_1 - z_2 = -(z_2 - z_1)$ . Maka:

\begin{aligned} |z_1 - z_2| &= |-(z_2 - z_1)| \\ &= |z_2 - z_1| \end{aligned}

Kuadrat Modulus

Kuadrat dari modulus suatu bilangan kompleks sama dengan bilangan kompleks tersebut dikalikan dengan konjugatnya.

|z_1|^2 = z_1 \times \bar{z_1}

Penjelasan:

Jika $z_1 = x + iy$ , maka $\bar{z_1} = x - iy$ .

\begin{aligned}z_1 \times \bar{z_1} &= (x + iy)(x - iy) \\ &= x^2 - (iy)^2 \\ &= x^2 - i^2y^2 \\ &= x^2 - (-1)y^2 \\ &= x^2 + y^2\end{aligned}

Kita juga tahu bahwa $|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$ , sehingga $|z_1|^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = x^2 + y^2$ .

Jadi, kedua sisi sama.

Modulus Hasil Kali

Modulus dari hasil kali dua bilangan kompleks sama dengan hasil kali modulus masing-masing bilangan kompleks.

|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|

Sifat ini dapat dibuktikan dengan mengalikan setiap bilangan dengan konjugatnya:

|z_1z_2|^2=(z_1z_2)\overline{(z_1z_2)}

Kedua modulus bernilai tak negatif, sehingga pengambilan akar kuadrat menghasilkan sifat hasil kali.

Modulus Hasil Bagi

Modulus dari hasil bagi dua bilangan kompleks sama dengan hasil bagi modulus masing-masing bilangan kompleks (dengan penyebut tidak nol).

\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}, \quad \text{untuk } z_2 \neq 0

Sifat hasil bagi mengikuti sifat hasil kali karena $z_1=(z_1/z_2)z_2$ ketika $z_2\neq0$ .

Ketaksamaan Segitiga

Modulus dari jumlah dua bilangan kompleks kurang dari atau sama dengan jumlah modulus masing-masing bilangan kompleks.

|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|

Penjelasan:

Secara geometris, tempatkan vektor $z_1$ dan $z_2$ secara ujung ke pangkal. Vektor langsung dari titik awal ke titik akhir adalah $z_1 + z_2$ , dan panjangnya tidak dapat melebihi jumlah dua sisi lainnya, yaitu $|z_1| + |z_2|$ .

Ketaksamaan Segitiga Terbalik

Selisih modulus dua bilangan kompleks tidak dapat melebihi jarak antara kedua bilangan tersebut.

\bigl||z_1|-|z_2|\bigr| \leq |z_1-z_2|

Ketaksamaan ini memberi batas bawah bagi suatu jarak atau jumlah. Misalnya, dengan mengganti $z_2$ menjadi $-z_2$ , kita memperoleh $\bigl||z_1|-|z_2|\bigr| \leq |z_1+z_2|$ .

Penggunaan Sifat Modulus

Misalkan diberikan bilangan kompleks $z = \frac{1 - 2i}{3 + 4i}$ . Tentukan $|z|$ .

Penyelesaian:

Kita bisa memandang $z = \frac{z_1}{z_2}$ dengan $z_1 = 1 - 2i$ dan $z_2 = 3 + 4i$ .

Menggunakan sifat Modulus Hasil Bagi:

|z| = \left| \frac{1 - 2i}{3 + 4i} \right| = \frac{|1 - 2i|}{|3 + 4i|}

Sekarang kita hitung modulus $z_1$ dan $z_2$ :

\begin{aligned} |z_1| &= |1 - 2i| \\ &= \sqrt{1^2 + (-2)^2} \\ &= \sqrt{1 + 4} \\ &= \sqrt{5} \end{aligned}

Sehingga,

|z| = \frac{\sqrt{5}}{5}

Sifat hasil bagi menghindari langkah memperluas pecahan dengan konjugat penyebut sebelum menghitung modulus.

Latihan

Setiap butir meminta modulus, jadi tuliskan dulu bagian real dan imajinernya lalu hitung akar kuadratnya.

Jika $z_1 = 6 + 8i$ dan $z_2 = 3 - i$ , hitunglah $|z_1 \times z_2|$ menggunakan sifat modulus.
Jika $z = 5 - 12i$ , buktikan bahwa $|z|^2 = z \times \bar{z}$ .
Jika $|z_1|=3$ dan $|z_2|=5$ , tentukan batas nilai yang mungkin untuk $|z_1+z_2|$ .

Pembahasan

Kita gunakan sifat $|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$ .

Hitung modulus masing-masing:
$\begin{aligned} |z_1| &= |6 + 8i| \\ &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}$
Maka:

$\begin{aligned} |z_1 \times z_2| &= |z_1| \times |z_2| \\ &= 10 \times \sqrt{10} \\ &= 10\sqrt{10} \end{aligned}$
Diketahui $z = 5 - 12i$ .

Hitung sisi kiri ( $|z|^2$ ):
$\begin{aligned} |z| &= |5 - 12i| \\ &= \sqrt{5^2 + (-12)^2} \\ &= \sqrt{25 + 144} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \end{aligned}$
Hitung sisi kanan ( $z \times \bar{z}$ ):

Konjugat dari $z$ adalah $\bar{z} = 5 + 12i$ .

$\begin{aligned}z \times \bar{z} &= (5 - 12i)(5 + 12i) \\ &= 5^2 - (12i)^2 \\ &= 25 - 144i^2 \\ &= 25 - 144(-1) \\ &= 25 + 144 \\ &= 169\end{aligned}$

Karena sisi kiri ( $169$ ) sama dengan sisi kanan ( $169$ ), maka terbukti $|z|^2 = z \times \bar{z}$ .
Ketaksamaan segitiga biasa dan terbalik memberikan batas atas sekaligus batas bawah:

$\bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\leq|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$

Substitusi kedua modulus menghasilkan $2\leq|z_1+z_2|\leq8$ . Nilai tepatnya bergantung pada sudut antara kedua bilangan kompleks tersebut.

Pengaruh Operasi pada Modulus

Modulus pada Negasi dan Konjugasi

Negasi dan konjugasi tidak mengubah modulus suatu bilangan kompleks.

|z_1| = |-z_1| = |\bar{z_1}|

Penjelasan:

Jika $z_1 = x + iy$ , maka $-z_1 = -x - iy$ dan $\bar{z_1} = x - iy$ .

$|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$
$|-z_1| = \sqrt{(-x)^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$
$|\bar{z_1}| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

Ketiganya menghasilkan nilai yang sama.

Modulus Selisih

Modulus dari selisih dua bilangan kompleks sama urutannya dibalik.

|z_1 - z_2| = |z_2 - z_1|

Penjelasan:

Ini adalah akibat langsung dari sifat $|-z| = |z|$ . Kita tahu $z_1 - z_2 = -(z_2 - z_1)$ . Maka:

\begin{aligned} |z_1 - z_2| &= |-(z_2 - z_1)| \\ &= |z_2 - z_1| \end{aligned}

Kuadrat Modulus

Kuadrat dari modulus suatu bilangan kompleks sama dengan bilangan kompleks tersebut dikalikan dengan konjugatnya.

|z_1|^2 = z_1 \times \bar{z_1}

Penjelasan:

Jika $z_1 = x + iy$ , maka $\bar{z_1} = x - iy$ .

\begin{aligned}z_1 \times \bar{z_1} &= (x + iy)(x - iy) \\ &= x^2 - (iy)^2 \\ &= x^2 - i^2y^2 \\ &= x^2 - (-1)y^2 \\ &= x^2 + y^2\end{aligned}

Kita juga tahu bahwa $|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$ , sehingga $|z_1|^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = x^2 + y^2$ .

Jadi, kedua sisi sama.

Modulus Hasil Kali

Modulus dari hasil kali dua bilangan kompleks sama dengan hasil kali modulus masing-masing bilangan kompleks.

|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|

Sifat ini dapat dibuktikan dengan mengalikan setiap bilangan dengan konjugatnya:

|z_1z_2|^2=(z_1z_2)\overline{(z_1z_2)}

Kedua modulus bernilai tak negatif, sehingga pengambilan akar kuadrat menghasilkan sifat hasil kali.

Modulus Hasil Bagi

Modulus dari hasil bagi dua bilangan kompleks sama dengan hasil bagi modulus masing-masing bilangan kompleks (dengan penyebut tidak nol).

\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}, \quad \text{untuk } z_2 \neq 0

Sifat hasil bagi mengikuti sifat hasil kali karena $z_1=(z_1/z_2)z_2$ ketika $z_2\neq0$ .

Ketaksamaan Segitiga

Modulus dari jumlah dua bilangan kompleks kurang dari atau sama dengan jumlah modulus masing-masing bilangan kompleks.

|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|

Penjelasan:

Ketaksamaan Segitiga Terbalik

Selisih modulus dua bilangan kompleks tidak dapat melebihi jarak antara kedua bilangan tersebut.

\bigl||z_1|-|z_2|\bigr| \leq |z_1-z_2|

Ketaksamaan ini memberi batas bawah bagi suatu jarak atau jumlah. Misalnya, dengan mengganti $z_2$ menjadi $-z_2$ , kita memperoleh $\bigl||z_1|-|z_2|\bigr| \leq |z_1+z_2|$ .

Penggunaan Sifat Modulus

Misalkan diberikan bilangan kompleks $z = \frac{1 - 2i}{3 + 4i}$ . Tentukan $|z|$ .

Penyelesaian:

Kita bisa memandang $z = \frac{z_1}{z_2}$ dengan $z_1 = 1 - 2i$ dan $z_2 = 3 + 4i$ .

Menggunakan sifat Modulus Hasil Bagi:

|z| = \left| \frac{1 - 2i}{3 + 4i} \right| = \frac{|1 - 2i|}{|3 + 4i|}

Sekarang kita hitung modulus $z_1$ dan $z_2$ :

\begin{aligned} |z_1| &= |1 - 2i| \\ &= \sqrt{1^2 + (-2)^2} \\ &= \sqrt{1 + 4} \\ &= \sqrt{5} \end{aligned}

Sehingga,

|z| = \frac{\sqrt{5}}{5}

Sifat hasil bagi menghindari langkah memperluas pecahan dengan konjugat penyebut sebelum menghitung modulus.

Latihan

Setiap butir meminta modulus, jadi tuliskan dulu bagian real dan imajinernya lalu hitung akar kuadratnya.

Jika $z_1 = 6 + 8i$ dan $z_2 = 3 - i$ , hitunglah $|z_1 \times z_2|$ menggunakan sifat modulus.
Jika $z = 5 - 12i$ , buktikan bahwa $|z|^2 = z \times \bar{z}$ .
Jika $|z_1|=3$ dan $|z_2|=5$ , tentukan batas nilai yang mungkin untuk $|z_1+z_2|$ .

Pembahasan

Kita gunakan sifat $|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$ .

Hitung modulus masing-masing:
$\begin{aligned} |z_1| &= |6 + 8i| \\ &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}$
Maka:

$\begin{aligned} |z_1 \times z_2| &= |z_1| \times |z_2| \\ &= 10 \times \sqrt{10} \\ &= 10\sqrt{10} \end{aligned}$
Diketahui $z = 5 - 12i$ .

Hitung sisi kiri ( $|z|^2$ ):
$\begin{aligned} |z| &= |5 - 12i| \\ &= \sqrt{5^2 + (-12)^2} \\ &= \sqrt{25 + 144} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \end{aligned}$
Hitung sisi kanan ( $z \times \bar{z}$ ):

Konjugat dari $z$ adalah $\bar{z} = 5 + 12i$ .

$\begin{aligned}z \times \bar{z} &= (5 - 12i)(5 + 12i) \\ &= 5^2 - (12i)^2 \\ &= 25 - 144i^2 \\ &= 25 - 144(-1) \\ &= 25 + 144 \\ &= 169\end{aligned}$

Karena sisi kiri ( $169$ ) sama dengan sisi kanan ( $169$ ), maka terbukti $|z|^2 = z \times \bar{z}$ .
Ketaksamaan segitiga biasa dan terbalik memberikan batas atas sekaligus batas bawah:

$\bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\leq|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$

Substitusi kedua modulus menghasilkan $2\leq|z_1+z_2|\leq8$ . Nilai tepatnya bergantung pada sudut antara kedua bilangan kompleks tersebut.