Grafik Fungsi Logaritma

Perubahan Grafik Logaritma di Dekat Asimtot

Grafik logaritma berubah cepat di dekat asimtot vertikalnya, lalu berubah semakin lambat ketika nilai input membesar. Bentuk ini muncul ketika suatu keluaran menyatakan logaritma dari rasio positif, misalnya pada skala taraf bunyi dan pH. Nilai basis menentukan apakah grafik naik atau turun, sedangkan transformasi menggeser posisi grafik dan asimtotnya.

Karakteristik Grafik Logaritma

Grafik berikut membandingkan $y = \log_b x$ untuk beberapa nilai basis yang lebih besar dari $1$. Semua grafik melewati titik $(1,0)$ dan naik dengan laju yang berbeda.

Sifat Grafik Logaritma

Untuk fungsi $f(x) = \log_b x$ dengan $b > 1$:

1. Domain: $x > 0$ (hanya bilangan positif)
2. Range: Semua bilangan real ($-\infty < y < \infty$)
3. Titik potong sumbu $x$: $(1, 0)$ karena $\log_b 1 = 0$
4. Asimtot vertikal: Sumbu $y$ ($x = 0$)
5. Perilaku fungsi:
   • Naik untuk $b > 1$
   • Turun untuk $0 < b < 1$

Menggambar Grafik Fungsi Logaritma

Pelajari langkah-langkah menggambar grafik fungsi logaritma dengan contoh konkret.

1. Menggambar $y = \log_2 x$

   Untuk menggambar grafik ini, kita buat tabel nilai dengan memilih nilai $x$ yang merupakan pangkat dari $2$:

   $x$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
   $y = \log_2 x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$

   Grafik $y = \log_2 x$

   Perhatikan titik-titik penting dan bentuk kurva.

   KisiRotasi otomatis

2. Menggambar $y = \log_{\frac{1}{3}} x$

   Untuk basis $0 < b < 1$, grafik akan menurun:

   $x$	$\frac{1}{27}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$	$27$
   $y = \log_{\frac{1}{3}} x$	$3$	$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$	$-3$

   Grafik $y = \log_{\frac{1}{3}} x$

   Grafik menurun karena basis berada di antara $0$ dan $1$.

   KisiRotasi otomatis

Perbandingan Grafik Logaritma

Bandingkan grafik logaritma dengan basis berbeda dalam satu koordinat:

Transformasi Grafik Logaritma

Pergeseran vertikal memindahkan seluruh kurva dan membiarkan asimtot tegak tetap di $x = 0$. Pergeseran horizontal sebaliknya memindahkan asimtot beserta titik potong sumbu-$x$ ke kanan atau ke kiri, sehingga seluruh grafik bergeser mendatar.

Translasi Vertikal

Kita dapat menggeser grafik fungsi logaritma dengan menambahkan atau mengurangi konstanta $k$ pada fungsi.

Translasi Horizontal

Kita dapat menggeser grafik fungsi logaritma dengan menambahkan atau mengurangi konstanta $h$ pada fungsi.

Latihan

Empat soal di bawah ini melatih cara membaca grafik logaritma dan memperkirakan pergeserannya ketika ada perubahan di dalam argumen. Kerjakan setiap soal sebelum membaca penyelesaian, lalu bandingkan alasanmu dengan jawaban yang menyusul.

1. Buatlah tabel nilai dan gambarlah grafik fungsi:

   • $y = \log_3 x$
   • $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

2. Tentukan domain, range, dan asimtot dari fungsi $f(x) = \log_5 (x + 3)$.

3. Jika $f(x) = \log_2 x$ dan $g(x) = \log_2 (x - 4)$, tentukan:

   • Pergeseran grafik $g(x)$ terhadap $f(x)$
   • Domain dari $g(x)$

4. Sketsa grafik $y = \log_3 x + 2$ dan tentukan titik potong dengan sumbu $y$.

Pembahasan

1. Tabel nilai:

   Untuk $y = \log_3 x$:

   $x$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$
   $y$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$

   Untuk $y = \log_{\frac{1}{2}} x$:

   $x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
   $y$	$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$

   Plot setiap pasangan berurutan, lalu buat kurva halus yang tetap berada di sebelah kanan asimtot vertikal $x=0$. Grafik berbasis $3$ naik, sedangkan grafik berbasis $\frac{1}{2}$ turun.

2. Untuk $f(x) = \log_5 (x + 3)$:

   Logaritma hanya terdefinisi ketika argumennya positif. Batas dari syarat tersebut menjadi asimtot vertikal:

   • Domain: $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$
   • Range: Semua bilangan real
   • Asimtot vertikal: $x = -3$

3. Untuk $g(x) = \log_2 (x - 4)$:

   Mengganti $x$ dengan $x-4$ menggeser grafik ke kanan. Bentuk yang sama juga harus tetap positif:

   • Pergeseran: $4 \text{ satuan}$ ke kanan
   • Domain: $x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4$

4. Untuk $y = \log_3 x + 2$:

   Penambahan $2$ di luar logaritma menggeser semua titik secara vertikal tanpa mengubah domain atau asimtot:

   • Grafik $y = \log_3 x$ digeser $2 \text{ satuan}$ ke atas
   • Tidak ada titik potong dengan sumbu $y$ karena domain adalah $x > 0$

   Secara khusus, titik potong dengan sumbu $y$ memerlukan $x=0$, padahal logaritma tidak terdefinisi di sana. Grafik berikut menegaskan bahwa kurva mendekati, tetapi tidak pernah mencapai, sumbu $y$.

   Sketsa Grafik $y = \log_3 x + 2$

   Grafik logaritma basis $3$ yang digeser $2 \text{ satuan}$ ke atas.

   KisiRotasi otomatis